Konstrukcja 13-kąta foremnego o zadanej długości boku

[kalu91]

witam, mam problem z następującym zadaniem:
Konstrukcja 13-kąta foremnego o zadanej długości boku.
Gdyby nie było zadanej długości boku to skorzystałbym ze sposobu Rinaldiniego, ktory jest przedstawiony na stronie

Kod: Zaznacz cały

http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_10_08.asp

ale niestety pozostaje kwestia zadanej długości boku :/
Moze jest jakas zależność między promieniem a długością boku? Proszę o pomoc

[Marcinek665]

Na 13-kącie foremnym można oczywiście opisać okrąg (niech jego środek to będzie \(\displaystyle{ S}\)). Niech wierzchołkami będą \(\displaystyle{ A_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ i=1,2,...,13}\)

No i teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sphericalangle A_{1}SA_{2} = \sphericalangle A_{1}A_{7}A_{2}}\). Możemy więc zapisać twierdzenie sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ A_{1}A_{7}A_{2}}\) (oczywiście \(\displaystyle{ |A_{1}A_{2}|=a}\)):

\(\displaystyle{ 2R = \frac{a}{\sin \sphericalangle A_{1}A_{7}A_{2}} = \frac{a}{\sin \frac{1}{2} \sphericalangle A_{1}SA_{2}} = \frac{a}{\sin \frac{\pi}{26}}}\)

Czyli \(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi}{26}}}\)

Wprawdzie zależność jest, ale wyjątkowo brzydka i nie wiem czy coś daje. W najgorszym wypadku można podstawić przybliżone wartości (jeśli weźmiemy dokładność do 2 lub 3 miejsca po przecinku, to błąd przybliżenia będzie w praktyce nie do zauważenia).

Pozdrawiam