Twierdzenie Talesa, jednokładność i podobieństwo

[Aga71]

Dany jest odcinek AB. Podziel do konstrukcyjnie na dwie części, których stosunek będzie równy:
a) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{4}}\), b) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{3}}\), c) \(\displaystyle{ 2 \sqrt{\frac{2}{3}}}\), d) \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}}}\)

-- 2 lis 2010, o 18:38 --

Dany jest odcinek AB. Podziel do konstrukcyjnie na dwie części, których stosunek będzie równy:
a) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{4}}\) ,
b) \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{3}}\)

[ccyyffrraa]

Zakładam, że znasz konstrukcję podziału odcinka na dowolną liczbę równych części przy użyciu tw. Talesa. Jeżeli na pomocniczej linii odłożysz nie odcinki jednakowej długości, a o zadanym stosunku, to w analogiczny sposób podzielisz AB na odcinki w zadanym stosunku. Teraz zostaje pytanie jak skonstruować odcinki o niewymiernym stosunku:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{4}\\ 4a = b\sqrt{3}}\)
Czyli na pomocniczym odcinku należy odłożyć odcinki o długości:
\(\displaystyle{ a = \sqrt{3}, \ b = 4}\)
Ostatnie pytanie to konstrukcja odcinka \(\displaystyle{ a}\) Tutaj dwukrotnie stosujemy tw. Pitagorasa. Najpierw konstruujemy kwadrat o boku 1. Potem trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych przekątnej kwadratu oraz 1. Przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ a}\).