konstrukcje z XIX w.
konstrukcje z XIX w.
Dane są punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Znajdź punkt \(\displaystyle{ c}\) taki, że łamana \(\displaystyle{ acb}\) ma określoną długość. Dodatkowo, jeśli potraktujemy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jako środki okręgów stycznych zewnętrznie, to styczne do nich przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ c}\), przetną się w stosunku \(\displaystyle{ m:n}\).
-
pawels
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
konstrukcje z XIX w.
Nie wiem co to znaczy, że proste przecinają się w jakimś stosunku, a co do pierwszej kwestii, to jeżeli szukasz dowolnego takiego punktu konstrukcja wyda się dość prosta: potrzebna długość zadana jest pewnie w postaci pewnego odcinka- dzielimy go na pół na następnie rysujemy dwa przystające okręgi o środkach w \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), o promieniu równym połowie zadanej długości. Dowolny z ich punktów przecięcia spełnia warunki zadania.
Jeżeli natomiast chcesz skonstruować miejsce geometryczne punktów o takiej własności to najczęściej taka konstrukcja będzie niewykonalna za pomocą cyrkla i linijki (uda się jeżeli żądana długość łamanej będzie równa długości odcinka \(\displaystyle{ ab}\)).
Jeżeli natomiast chcesz skonstruować miejsce geometryczne punktów o takiej własności to najczęściej taka konstrukcja będzie niewykonalna za pomocą cyrkla i linijki (uda się jeżeli żądana długość łamanej będzie równa długości odcinka \(\displaystyle{ ab}\)).
konstrukcje z XIX w.
nie, to nie spelnia warunków konstrukcji.
Proste przecinają się danym stosunku tzn, że odcinki łączące punkt c z odpowiednim punktem stycznosci sa w danym stosunku.
Zadanie jest traktowane jako całość, szukany punkt c musi spelniac wszystkie warunki wymienione w tresci. Sadzilam ze to oczywiste...
Proste przecinają się danym stosunku tzn, że odcinki łączące punkt c z odpowiednim punktem stycznosci sa w danym stosunku.
Zadanie jest traktowane jako całość, szukany punkt c musi spelniac wszystkie warunki wymienione w tresci. Sadzilam ze to oczywiste...
-
pawels
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
konstrukcje z XIX w.
Niestety treść wciąż nie jest dla mnie jasna. Co to znaczy, że traktujemy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ja ko środki okręgów stycznych zewnętrznie? Czy te okręgi są dane, czy tylo musi istnieć taka para okręgów stycznych zewnętrznie, że stosunek długości odcinków o końcach w c i punktach styczności stycznych poprowadzonych z c jest ustalony?
konstrukcje z XIX w.
nie rozumiem, czego tu mozna nie rozumiec... mamy dwa punkty. jak dowolne inne dwa punkty moga byc srodkami okregow jakichs tam. sa jednak srodkami okregow stycznych zewnetrznie, co daje nam, ze suma promieni tych okregow jest rowna odlegosci pomiedzy tymi punktami. nie wiemy jakie promienie maja te okregi, jedynie wiemy o ich sumie.
Jak w tresci zadania dany jest stosunek stycznych (czyli stosunek odcinkow, o ktore pytasz).
Jak w tresci zadania dany jest stosunek stycznych (czyli stosunek odcinkow, o ktore pytasz).
-
pawels
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
konstrukcje z XIX w.
Niezrozumienia budzi niejasna sprawa okręgów pojawiających się w treści. Moje ostatnie pytanie (nie dotyczyło ono wbrew pozorom stosunku długości tamtych odcinków) nie doczekało się odpowiedzi.
Widzę kila możliwych interpretacji i dla jednej z nich znalazłem rozwiązania (pierwszy post). Skoro jednak budzi to tym zaraz Twoje wątpliwości to napiszę jak rozumiem treść i przedstawię dowód poprawności, a nie tylko opis:
Dane są punkty \(\displaystyle{ a,b}\), odcinek o długości \(\displaystyle{ 2k}\) oraz dwa inne odcinki, których stosunek długości wynosi \(\displaystyle{ p}\). Zadanie polega na skonstruowaniu takiego punktu \(\displaystyle{ c}\), aby łamana \(\displaystyle{ acb}\) miała długość \(\displaystyle{ 2k}\), oraz istniała taka para okręgów stycznych zewnętrznie o środkach w punktach \(\displaystyle{ a,b}\), że stosunek długości odcinków łączących punkt \(\displaystyle{ c}\) z punktami styczności tych okręgów ze stycznymi poprowadzonymi z punktu \(\displaystyle{ c}\) jest równy \(\displaystyle{ p}\).
Można zastosowywać konstrukcję podaną w pierwszym poście. Z nierówności trójkąta wynika, że \(\displaystyle{ 2k\geq \mid ab\mid}\) (niech będzie to oznaczało długość odcinka \(\displaystyle{ ab}\)). Gdyby w podanej nierówności zaszła równość, to punkt c musiałby znajdować się wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ ab}\), a wówczas możemy rozważać jedynie parę okręgów stycznych w \(\displaystyle{ c}\) (nie można poprowadzić stycznej przechodzącej przez punkt należący do wnętrza koła), a wówczas badane odcinki degenerują się do punktów, czyli badania stosunku ich długości traci sens. Oznacza to, że \(\displaystyle{ 2k>\mid ab\mid}\). Widzimy, że skonstruowany przez nas punkt spełnia pierwszy warunek tego zadania. Teraz wykażę istnienie odpowiednich okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2}\): niech mają one promienie \(\displaystyle{ x,d-x}\). Skorzystam teraz ze znanego faktu dotyczącego potęgi punktu względem okręgu: jest ona równa m.im. kwadratowi długości odcinka o końcach w punkcie, którego potęgę liczymy i punkcie styczności tego okręgu ze styczna poprowadzoną z rozważanego punktu. Wówczas stosunek długości odpowiednich odcinków wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{k^2-x^2}{k^2-(d-x)^2}}}\) (dla \(\displaystyle{ x\in (\max (0,d-k), \min (k,d))}\) łatwo udowodnić z nierówności trójkąta, że \(\displaystyle{ c}\) leży na zewnątrz obu okręgów). Wystarczy teraz pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{k^2-x^2}{k^2-(d-x)^2}}}\) określona w odpowiednim przedziale może przyjąć dowolna wartość dodatnią. Widać, że granica tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ k}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a skoro funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, i jest ciągła to przyjmuje wszystkie dostatecznie małe. Widać jednak, że patrząc się na odwrotność tego stosunku znów będziemy badać taką samą funkcję (obrazek ma oś symetrii), czyli może ona przyjmować także dowolnie duże wartości, co oznacza, że stosunek \(\displaystyle{ p}\) jest osiągalny.
Wydaje się, że nigdzie nie oszukałem, a poza tym dyskusja rozwiązalności wydaje się dość trudna, więc nie podejmuje się jej przeprowadzić.
Widzę kila możliwych interpretacji i dla jednej z nich znalazłem rozwiązania (pierwszy post). Skoro jednak budzi to tym zaraz Twoje wątpliwości to napiszę jak rozumiem treść i przedstawię dowód poprawności, a nie tylko opis:
Dane są punkty \(\displaystyle{ a,b}\), odcinek o długości \(\displaystyle{ 2k}\) oraz dwa inne odcinki, których stosunek długości wynosi \(\displaystyle{ p}\). Zadanie polega na skonstruowaniu takiego punktu \(\displaystyle{ c}\), aby łamana \(\displaystyle{ acb}\) miała długość \(\displaystyle{ 2k}\), oraz istniała taka para okręgów stycznych zewnętrznie o środkach w punktach \(\displaystyle{ a,b}\), że stosunek długości odcinków łączących punkt \(\displaystyle{ c}\) z punktami styczności tych okręgów ze stycznymi poprowadzonymi z punktu \(\displaystyle{ c}\) jest równy \(\displaystyle{ p}\).
Można zastosowywać konstrukcję podaną w pierwszym poście. Z nierówności trójkąta wynika, że \(\displaystyle{ 2k\geq \mid ab\mid}\) (niech będzie to oznaczało długość odcinka \(\displaystyle{ ab}\)). Gdyby w podanej nierówności zaszła równość, to punkt c musiałby znajdować się wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ ab}\), a wówczas możemy rozważać jedynie parę okręgów stycznych w \(\displaystyle{ c}\) (nie można poprowadzić stycznej przechodzącej przez punkt należący do wnętrza koła), a wówczas badane odcinki degenerują się do punktów, czyli badania stosunku ich długości traci sens. Oznacza to, że \(\displaystyle{ 2k>\mid ab\mid}\). Widzimy, że skonstruowany przez nas punkt spełnia pierwszy warunek tego zadania. Teraz wykażę istnienie odpowiednich okręgów \(\displaystyle{ o_1,o_2}\): niech mają one promienie \(\displaystyle{ x,d-x}\). Skorzystam teraz ze znanego faktu dotyczącego potęgi punktu względem okręgu: jest ona równa m.im. kwadratowi długości odcinka o końcach w punkcie, którego potęgę liczymy i punkcie styczności tego okręgu ze styczna poprowadzoną z rozważanego punktu. Wówczas stosunek długości odpowiednich odcinków wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{k^2-x^2}{k^2-(d-x)^2}}}\) (dla \(\displaystyle{ x\in (\max (0,d-k), \min (k,d))}\) łatwo udowodnić z nierówności trójkąta, że \(\displaystyle{ c}\) leży na zewnątrz obu okręgów). Wystarczy teraz pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\frac{k^2-x^2}{k^2-(d-x)^2}}}\) określona w odpowiednim przedziale może przyjąć dowolna wartość dodatnią. Widać, że granica tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ k}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\), a skoro funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie, i jest ciągła to przyjmuje wszystkie dostatecznie małe. Widać jednak, że patrząc się na odwrotność tego stosunku znów będziemy badać taką samą funkcję (obrazek ma oś symetrii), czyli może ona przyjmować także dowolnie duże wartości, co oznacza, że stosunek \(\displaystyle{ p}\) jest osiągalny.
Wydaje się, że nigdzie nie oszukałem, a poza tym dyskusja rozwiązalności wydaje się dość trudna, więc nie podejmuje się jej przeprowadzić.
konstrukcje z XIX w.
tresc zadania jest oryginalnym zapisem z XIX wiecznej matury, wiec nie bede go przeformulowywac.
same okręgi nie sa dane, pewnie znalezienie promieni tych okregow rozwiaze zadanie. o ile dobrze rozumiem to to by byla ta druga czesc Twojej odpowiedzi, czyli:
same okręgi nie sa dane, pewnie znalezienie promieni tych okregow rozwiaze zadanie. o ile dobrze rozumiem to to by byla ta druga czesc Twojej odpowiedzi, czyli:
Z warunku o dlugosci łamanej \(\displaystyle{ acb}\) wiemy, ze \(\displaystyle{ c}\) musi lezec na elipsie, ktorej ogniskami sa dane punkty \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Bez utraty ogolnosci moge sobie wybrac tylko jedna polowke tej elipsy i tylko dla niej prowadzic dalsze rozwazania. Ale moze ktos mialby wskazowke co dalej moge zrobic.musi istnieć taka para okręgów stycznych zewnętrznie, że stosunek długości odcinków o końcach w c i punktach styczności stycznych poprowadzonych z c jest ustalony.
-
maciek_r10
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 5 wrz 2010, o 15:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
konstrukcje z XIX w.
Jakoś nieszczególne jest tu zainteresowanie tym tematem, a tymczasem zadanie jest dość proste. Kto oglądał choćby "Agorę" z Rachel Weisz, ten wie, że elipsę łatwo można wykreślić posługując się np. nitką. Jednak (zapewne niepotrzebnie o tym przypominam), kiedy używamy tutaj określenia "skonstruować", to wolno nam się posłużyć jedynie cyrklem i linijką.
Poniżej podaję link do rozwiązania tego zadania, którego treść pozwoliłem sobie przepisać stosując współczesną konwencję oznaczania punktów wielkimi literami alfabetu łacińskiego:
... 5aa5a.html
Na koniec jeszcze dwie uwagi:
1. Punkt C spełniający warunki zadania może zajmować jeszcze 3 inne położenia. Leżą one symetrycznie wzgl. odcinka AB oraz wzgl. prostej prostopadłej do AB i przecinającej jego środek.
2. Przy każdym położeniu punktu C istnieją jeszcze dwie inne styczne spełniające warunki zadania i mające odpowiednio takie same długości. Pominąłem je tutaj, by nie pogorszyć czytelności rysunku.
Poniżej podaję link do rozwiązania tego zadania, którego treść pozwoliłem sobie przepisać stosując współczesną konwencję oznaczania punktów wielkimi literami alfabetu łacińskiego:
... 5aa5a.html
Na koniec jeszcze dwie uwagi:
1. Punkt C spełniający warunki zadania może zajmować jeszcze 3 inne położenia. Leżą one symetrycznie wzgl. odcinka AB oraz wzgl. prostej prostopadłej do AB i przecinającej jego środek.
2. Przy każdym położeniu punktu C istnieją jeszcze dwie inne styczne spełniające warunki zadania i mające odpowiednio takie same długości. Pominąłem je tutaj, by nie pogorszyć czytelności rysunku.