Trapez WPISANY w prostokąt

mathias11 · Post autor: **mathias11** » 6 cze 2010, o 20:00

Dany jest prostokąt ABCD , cyrkiel oraz linijka. Należy skonstruować trapez AEFB , tak aby AE=EF=FB. Proszę o pomoc z rozwiązaniem tego zadania

anna_ · Post autor: **anna_** » 6 cze 2010, o 20:03

A co ten prostokąt ma wspólnego z tym trapezem poza tym, że jeden jego bok będzie równy bokowi trapezu?

mathias11 · Post autor: **mathias11** » 6 cze 2010, o 20:07

Bok AB prostokąta stanowi dłuższą podstawę trapezu, a krótsza podstawa EF zawiera się w odcinku CD. Problem polega na tym, że o ile narysowanie tego prostokąta posiadając jako dany trapez nie stanowi najmniejszego problemu, to w sytuacji odwrotnej nie umiem sobie z tym niestety poradzić.

anna_ · Post autor: **anna_** » 6 cze 2010, o 20:19

\(\displaystyle{ a}\) - dłuższy bok prostokąta
\(\displaystyle{ b}\) - krótszy bok prostokąta

\(\displaystyle{ AE=EF=FB= c=\frac{2 \sqrt{a^2+3b^2}-a }{3}}\)
Musisz najpierw skonstruwać odcinek \(\displaystyle{ c}\)

mathias11 · Post autor: **mathias11** » 6 cze 2010, o 20:34

Mogłabyś jeszcze napisać z jakiego równania otrzymałaś taki wynik? Ponadto nie za bardzo wiem jak konstrukcyjnie otrzymać wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + 3b^{2} }}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 6 cze 2010, o 20:44

Narysuj prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b \sqrt{3}}\), wtedy jego przekątna będzie równa \(\displaystyle{ \sqrt{ a^{2} + 3b^{2} }}\)

Wyszło z Pitagorasa
\(\displaystyle{ c}\)- to ramiona i górna podstawa trapezu

\(\displaystyle{ (\frac{a-c}{2})^2+b^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ a^2 - 2ac + 4b^2 + c^2 = 4c^2}\)
\(\displaystyle{ 3c^2+2ac-a^2-4b^2=0}\)
Niewiadoma to \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to parametry
rozwiązanie dodatnie to
\(\displaystyle{ c=\frac{2 \sqrt{a^2+3b^2}-a }{3}}\)

tkrass · Post autor: **tkrass** » 22 cze 2010, o 22:43

To jest zadanie znane wszystkim rozkminiaczom w województwie mazowieckim, bo pojawiło się 4 czy 5 lat temu na kuratoryjnym konkursie dla gimnazjów. Rozwiązanie proponowane przez nmn jest oczywiście poprawne, ale dość męczące i prymitywne. Istnieje rozwiązanie elementarne, w którym najcięższą armatą jest twierdzenie Talesa. Spróbuj coś podorysowywać i zauważyć, zastanów się jakie własności ma ten trapez. Zadanie jest naprawdę bardzo fajne, dlatego popróbuj sam, a jak nie wyjdzie to napisz.