jakie twierdzenie zastosować?

[strategiehalasu]

jest dowolny trojkat w dowolnym okregu. na okrego zaznaczam dowolny punkt P. rysuje do niego punkty symetryczne względem osi symetrii stanowiących boki trójkąta. i wlasnie te trzy punkty lezą na jednej prostej. DLACZEGO? jakie twierdzenie to uzasadnia?

[Kibu]

Twierdzenie o prostej Simsona mówi, że rzuty P na boki trójkąta leżą na jednej prostej. Dalej możesz przekształcić te rzuty w jednokładności o środku w P i skali 2, otrzymując opisaną przez Ciebie sytuację, a w jednokładności obrazem prostej jest prosta.

[strategiehalasu]

A ktoś jeszcze ma jakiś pomysł? Gdyż za bardzo nie wiem jak to twierdzenie zastosować. Chodzi mi o uzasadnienie dlaczego te punkty leżą na jednej prostej. Z góry dziękuję

[Kibu]

Rzuty prostokątne punktu P na boki trójkąta ABC lub na ich przedłużenia są współliniowe \(\displaystyle{ \iff}\) punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie ABC.
1.\(\displaystyle{ $\Rightarrow$ )



Za\l{}\'o\.zmy, \.ze punkt $P$ le\.zy na \l{}uku $BC$.



W\'owczas: $\frac{BA_{1}}{CA_{1}}=-\frac{BP \cos \measuredangle PBC}{CP \cos \measuredangle PCB}, \qquad \frac{CB_{1}}{AB_{1}}=-\frac{CP \cos\measuredangle PCA}{AP \cos \measuredangle PAC}, \qquad \frac{AC_{1}}{BC_{1}}=-\frac{AP \cos \measuredangle PAB}{PB \cos\measuredangle PBA}.$}\)

Mno.zk{a}c powy.ze r'owno'sci stronami i uwzglk{e}dniajk{a}c, .ze:

\(\displaystyle{ $\measuredangle PAC=\measuredangle PBC,\qquad \measuredangle PAB=\measuredangle PCB; \qquad \measuredangle PAC+\measuredangle PBA=180 \textdegree $,}\)

otrzymujemy, .ze \(\displaystyle{ \frac{BA_{1}}{CA_{1}}\cdot\frac{CB_{1}}{AB_{1}}\cdot\frac{AC_{1}}{BC_{1}}=-1, $a zatem (z tw. Menelaosa) punkty$ $A_{1}$, $B{1}$ i $C_{1}$ s\k{a} wsp\'o\l{}liniowe.}\)


2. \(\displaystyle{ $\Leftarrow$ )}\)



Przy tych samych zal{}o.zeniach, co w 1), mamy:

\(\displaystyle{ $\measuredangle (AP, PC_{1})=\measuredangle(AB_{1}, B_{1}C)=\measuredangle(CB_{1}, B_{1}A_{1})=\measuredangle(CP, PA_{1})$.



Dodaj\k{a}c $\measuredangle (PC_{1}, PC)$, otrzymujemy:



$\measuredangle(AP, PC)=\measuredangle(PC_{1}, PA_{1})=\measuredangle(BC_{1}, BA_{1})=\measuredangle(AB, BC)$,



co oznacza, \.e punkt $P$ le\.zy na okr\k{e}gu opisanym na tr\'ojk\k{a}cie $ABC$.}\)