Muszę udowonić słuszność następującej konstrykucji 10-kąta foremnego:
1.Narysuj okrąg o środku O,
2.Narysuj średnicę AB,
3.Narysuj drugą średnicę prostopadłą do AB,
4.Wyznacz połowę promienia OC (początek w punkcie O), otrzymasz odcinek OE,
5.Z punktu E poprowadz odcinek do punku B,
6.Następnie na odcinku EB zakreśl łuk równy EO, nóżkę cyrkla musisz mieć w punkcie O. Powstały punkt na odcinku EB nazwij F
7.Odcinek BF ma miarę długościu boku w 10 kącie opisanym na okręgu.
Nie wiem jak to zrobić... pomóżcie
ej sorki moglibyście chociaż dziś to zrobić? plissss, z góry Dzięki!
10-kąt formny
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
10-kąt formny
Ja bym to analitycznie rozwiazał:
Bierzemy sobie układ współrzędnych o początku w punkcie O oś x-ów || AB a oś y-ów || CD.
Przyjmijmy za 2r promień okręgu, wtedy promień łuku EOF wynosi r. Zauważ dodatkowo, że jak masz 10-kąt foremny to kąt między odcinkami poprowadzonymi od środka tego 10-kąta, a sasiednimi wierchołkami wynosi 36, pozostałe kąty w utworzonym trójkącie wynoszą 72, dla tego trójkąta twierdzenie sinusów przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \frac{2r}{sin72}=\frac{d}{sin36}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{sin36}{sin72}2r=\frac{sin36}{2sin36cos36}2r=\frac{r}{cos36}}\)
d - dlugość boku 10kąta. Ostatnią równość wywodzi się z sinusa podwojonego kąta.
Dalej analitycznie liczysz współrzędne punktu f z równania okręgu o środku O i promieniu r:
Równanie prostej EB:
y=1/2x-r
Równanie okręgu:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=r^{2}}\)
A stąd możesz wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ y=\frac{-6r}{10},x=\frac{8r}{10}}\)
Teraz liczysz długość wektora FB, jako długość boku 10-kąta foremnego (przypuszczalną):
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{36r^{2}}{100}+\frac{144r^{2}}{100}}=\frac{6 \sqrt{5}}{10}r.}\)
Teraz z tablic bierzesz cos36, albo wyprowadzasz sobie, podstawiasz do tej równości z cosinusem i wychodzi Ci, że to d u góry jest równe temu na dole, co kończy dowód.
Bierzemy sobie układ współrzędnych o początku w punkcie O oś x-ów || AB a oś y-ów || CD.
Przyjmijmy za 2r promień okręgu, wtedy promień łuku EOF wynosi r. Zauważ dodatkowo, że jak masz 10-kąt foremny to kąt między odcinkami poprowadzonymi od środka tego 10-kąta, a sasiednimi wierchołkami wynosi 36, pozostałe kąty w utworzonym trójkącie wynoszą 72, dla tego trójkąta twierdzenie sinusów przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \frac{2r}{sin72}=\frac{d}{sin36}}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{sin36}{sin72}2r=\frac{sin36}{2sin36cos36}2r=\frac{r}{cos36}}\)
d - dlugość boku 10kąta. Ostatnią równość wywodzi się z sinusa podwojonego kąta.
Dalej analitycznie liczysz współrzędne punktu f z równania okręgu o środku O i promieniu r:
Równanie prostej EB:
y=1/2x-r
Równanie okręgu:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=r^{2}}\)
A stąd możesz wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ y=\frac{-6r}{10},x=\frac{8r}{10}}\)
Teraz liczysz długość wektora FB, jako długość boku 10-kąta foremnego (przypuszczalną):
\(\displaystyle{ d=\sqrt{\frac{36r^{2}}{100}+\frac{144r^{2}}{100}}=\frac{6 \sqrt{5}}{10}r.}\)
Teraz z tablic bierzesz cos36, albo wyprowadzasz sobie, podstawiasz do tej równości z cosinusem i wychodzi Ci, że to d u góry jest równe temu na dole, co kończy dowód.
-
guzik15
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 16 mar 2006, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 5 razy
10-kąt formny
no ciekawe... wielkie dzięki, tylko wychodzi tutaj w zaokrągleniu bo,
\(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{6}}{10} r \frac{r}{cos36}}\) w przybliżeniu do 5 setnych, nie robi to różnicy ? czy tak musi być?
\(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{6}}{10} r \frac{r}{cos36}}\) w przybliżeniu do 5 setnych, nie robi to różnicy ? czy tak musi być?
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
10-kąt formny
no nie powinno wychodzić w przybliżeniu. Znając wzory na cosinus sumy kątów powinno dać się wyprowadzić dokładną wartość cos36, Na przykład wyprowadzić wzór na cos6 i z tego próbować. Nie jest to już łatwe, ale na 100% wykonalne.
-
Olo
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 42 razy
10-kąt formny
dokładniej - wyprowadzasz wzór na cos 5x w zależności od cosx, podstawiasz zmienną t pod cosx i wyliczasz t. zamiast cos 5x wstawiasz cos 30 stopni i stąd już masz cos 6 stopni, a dalej już wiesz:)
-
juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
10-kąt formny
Po co wyliczać \(\displaystyle{ \cos 6^{o}}\)? Wyznaczasz \(\displaystyle{ \cos 5x}\), podstawiasz \(\displaystyle{ x=36^{o}}\) i dostajesz jakiś wielomian, który powinien się przyzwoicie rozłożyć.