oblicz wartości pozostałych funkcji

[asiunia909]

Wiedząc żę \(\displaystyle{ tg\alpha=3ctg }\) oblicz wartości pozostałych funkcji trygonom. kąta o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) gdzie\(\displaystyle{ \alpha }\)\(\displaystyle{ (0^{o};90 ^{o} )}\)

[Nakahed90]

Skorzystaj, z tego, że
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{1}{ctg\alpha}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\)

[asiunia909]

dużo mi to nie dało źle coś obliczam i mi wychodzi ze \(\displaystyle{ ctg }\) jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{3} }}\)

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ ctg\alpha=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
A taka wartość kotangensa istnieje.

[asiunia909]

tg mi wyszedł\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) ale dalej to juz nie wiem jak obliczyć

[Nakahed90]

Dwie funkcje już masz, więc policzmy sinus i cosinus.
Wychodzimy z podanej równości tg oraz ctg zapisujemy za pomocą sin i cos.
\(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=3\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=3cos^{2}\alpha}\)
Wystarczy to podstawić do jedynki trygonometrycznej.

[asiunia909]

możesz mi to po prostu rozpisać...

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 3cos^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)