Równania

[lukd]

a)\(\displaystyle{ (cosx-sinx) ^{2} + tgx=2sin ^{2} x}\)
b)\(\displaystyle{ (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx}\)

[lukasz1804]

a) Mamy \(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\), zatem

\(\displaystyle{ 0=(\cos x-\sin x)^2+\tg x-2\sin^2x=\cos^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x+\tg x-2\sin^2x=(\cos^2x+\sin^2x)-2\sin^2x-2\sin x\cos x+\tg x=1-2\sin^2x-2\sin x\cos x+\tg x}\).

Stąd \(\displaystyle{ 0=\cos x-2\sin^2x\cos x-2\sin x\cos^2x+\sin x}\), czyli \(\displaystyle{ 0=(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x(\sin x+\cos x)}\), więc

\(\displaystyle{ 0=(\sin x+\cos x)(1-2\sin x\cos x)=(\sin x+\cos x)(1-\sin 2x)=\cos x(\frac{\sin x}{\cos x}+1)(1-\sin 2x)=\cos x(\tg x+1)(1-\sin 2x)}\).

Wobec tego i dziedziny równania mamy \(\displaystyle{ (\tg x+1)(1-\sin 2x)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \tg x=-1}\) lub \(\displaystyle{ \sin 2x=1}\). Stąd \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\).