Rozwiązać nierówność

ManAMac · Post autor: **ManAMac** » 27 gru 2008, o 13:00

Witam wszystkich serdecznie. Zwracam się do Was z prośbą o pomoc w rozwiązaniu zadania. Próbowałem to rozwiązać metodą wstawienia \(\displaystyle{ \frac{cos}{sin}}\) zamiast ctg, ale mi zawsze wychodził zły wynik. Za wszelkie rady i wskazówki będę bardzo wdzięczny! PoZDRawiam. Zadanie wygląda następująco:
\(\displaystyle{ ctg^{2}}\)x \(\displaystyle{ \leqslant}\) 1

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 27 gru 2008, o 13:03

Zastosuj podstawienie \(\displaystyle{ ctgx=t}\). Pozdrawiam

ManAMac · Post autor: **ManAMac** » 27 gru 2008, o 14:22

Bardzo dziękuję za odpowiedź, aczkolwiek rozwiązałem to inaczej i chciałbym się Was spytać, czy jest to zrobione poprawnie. Wyszło mi, że:
dla \(\displaystyle{ \ctg^{2}}\)x
x C

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 15:20 ]
Czy dobrze to rozwiązałem?

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 27 gru 2008, o 16:12

ManAMac pisze: x C

Według mnie, to właśnie to co napisałeś nie jest odpowiedzią, a pozostała część. Tak przynajmniej mi wyszło. Od 3/4pi + k*pi do pi + k*pi, i od 0 + k*pi do pi/4 + k*pi, kEC jest rozwiązaniem, przynajmniej według moich obliczeń, ale mogę się mylić. Spróbuj moim sposobem to rozwiązać, stosując te podstawienie.
Pozdrawiam.

ManAMac · Post autor: **ManAMac** » 27 gru 2008, o 17:36

Dzięki za pomoc, ale wydaje mi się, że obaj się pomyliliśmy, ponieważ tutaj jest mowa o kwadracie ctg, który nie może być większy od 1. W związku z tym \(\displaystyle{ -1 qslant ctg^{2}x qslant 1}\), a więc odpowiedzią wydaje mi się, że będzie \(\displaystyle{ }\)
PoZDRawiam ponownie i liczę na potwierdzenie lub obalenie mojego rozwiązania.

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 27 gru 2008, o 22:56

ManAMac pisze:Dzięki za pomoc, ale wydaje mi się, że obaj się pomyliliśmy, ponieważ tutaj jest mowa o kwadracie ctg, który nie może być większy od 1. W związku z tym \(\displaystyle{ -1 qslant ctg^{2}x qslant 1}\), a więc odpowiedzią wydaje mi się, że będzie \(\displaystyle{ }\)
PoZDRawiam ponownie i liczę na potwierdzenie lub obalenie mojego rozwiązania.

A skąd Ty wziąłeś, że ctg nie może przekraczać 1? :O przecież to nie jest taka sama funkcja jak sin lub cos, tylko przyjmuje wartości większe... , więc Twoje rozumowanie jest złe... :O sprawdzę to później, Ty też jeszcze przeanalizuj swoje rozwiązanie...
pozdrawiam

ManAMac · Post autor: **ManAMac** » 28 gru 2008, o 00:35

Z treści zadania Skoro \(\displaystyle{ ctg^{2}x}\) nie może być większy od \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ ctgx}\) musi się zawierać od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\), bo jakbyś wziął liczbę \(\displaystyle{ -5}\) lub \(\displaystyle{ 7}\) to ich kwadraty będą równe odpowiednio \(\displaystyle{ 25}\) i \(\displaystyle{ 49}\), co przekroczy ustaloną w zadaniu górną granicę, którą może przyjmować maksymalnie wartość \(\displaystyle{ 1}\) PoZDRawiam i dobranoc

anna_ · Post autor: **anna_** » 28 gru 2008, o 01:19

ManAMac pisze: \(\displaystyle{ -1 qslant ctg^{2}x qslant 1}\)

A znasz liczbę, która podniesiona do kwadratu da liczbę ujemną?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 gru 2008, o 08:58

w zbiorze liczb zespolonych znajdzie się taka;]

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 28 gru 2008, o 10:19

Racja, popełniłem błąd, dziękuję za jego zauważenie. Po prostu niedokładnie przeczytałem treść zadania. Zrobiłem to zadanie jeszcze raz. Oto moje rozwiązanie.
\(\displaystyle{ ctg^{2}x qslant 1}\)
Niech: \(\displaystyle{ ctgx=t}\), zatem:
\(\displaystyle{ t^{2} qslant 1 t^{2}-1 qslant 0 (t-1)(t+1) qslant 0 t }\), zatem:
\(\displaystyle{ ctgx }\), czyli:
\(\displaystyle{ x }\), \(\displaystyle{ k C}\)
Pozdrawiam.

ManAMac · Post autor: **ManAMac** » 28 gru 2008, o 19:14

Ale palnąłęm głupotę xD Chodziło mi naturalnie, że to \(\displaystyle{ ctg}\) jest w zakresie od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\). W związku z tym \(\displaystyle{ ctg^{2}}\) mieści się w zbiorze od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\) SRY za głupotę, ale jak widać oboje rozwiązaliśmy zadanie poprawnie. Wielkie dzięki za pomoc PoZDRo

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 29 gru 2008, o 00:37

Spoko. Pomyłki się zdarzają, a człowiek na błędach się uczy.
Pozdrawiam serdecznie.