Dla jakiej wartości jest ciągła w punkcie...

JarTSW · Post autor: **JarTSW** » 20 gru 2008, o 20:14

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ a}\) funkcja jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

układ dwóch równań:
dla \(\displaystyle{ x=!0}\)

\(\displaystyle{ \frac{cos^{2}2x-1}{x^2}}\)

dla \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ a}\)

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 20 gru 2008, o 20:29

Liczysz granicę funkcji w 0, lewo i prawostronną, ale najpierw proponuję dla ułatwienia przekształcenie:

\(\displaystyle{ \frac{cos ^{2} 2x-1}{x ^{2} } = \frac{(cos2x+1)(cos2x-1)}{x ^{2} }= \\ =\frac{(cos ^{2}x-sin^{2}x-cos^{2}x-sin^{2}x)( (cos ^{2}x-sin^{2}x+cos^{2}x+sin^{2}x}{x^{2}}= \frac{(-2sin^{2}x)(2cos{x})}{x ^{2} }}\)
i dla tej postaci liczymy obustronną granicę w zerze:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0+ } \frac{(-2sin^{2}x)(2cos{x})}{x ^{2} } = \lim_{ x\to 0+} \frac{sin ^{2x} }{x^{2}}\cdot (-2cosx) = \\ =\lim_{x \to0+ } ( \frac{sinx}{x})^2\cdot(-4cosx)=-4}\)
bo \(\displaystyle{ \lim_{x\to0 } \frac{sinx}{x}=1}\)
a granica lewostronna wychodzi analogicznie taka sama, czyli a=-4.

JarTSW · Post autor: **JarTSW** » 21 gru 2008, o 09:39

A bez granic się tego rozwiązać nie da? bo tego nie mamy w programie (matura 2009).

soku11 · Post autor: **soku11** » 21 gru 2008, o 13:03

Warunek na ciaglosc funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\\}\)

Jak ci sie uda zapisac ten warunek bez granic, to bedziesz mial odpowiedz pozytywna na swoje pytanie... A jesli zamierzasz studiowac cos co bedzie mialo taki przedmiot jak matematyka, to mozesz miec ciezko z takim podejsciem, ze nie ma tego w programie Pozdrawiam.

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 21 gru 2008, o 14:18

soku11 a żeby umieć pochodne trzeba znać też granice? Jak to wygląda ...

Bo chciałbym to nadrobić jakoś sam. Ale nie wiem czego szukać w necie.
Teraz zaczełem studiować indukcje, dwumian newtona i troche rachunku prawdopodobienstwa zeby miec jakies ogolne pojecie. Zamierzam wlasnie przejsc do granic bo mam ksiazke ale nic o pochodnych nie pisze. A te regułki z wikipedii mnie przerażają. Masz może jakieś sprawdzone źródło, jakas strona internetowaa albo ksiazka?

soku11 · Post autor: **soku11** » 21 gru 2008, o 14:27

Ogolnie wzor na pochodna wyprowadza sie z granicy Ale mozna sie poprostu w ostatecznosci nauczyc wzorow, kilku regulek i tyle Bo pochodna, to nic innego jak opis zmian funkcji. Funkcja stala sie nie zmienia w zaleznosci od x, tylko caly czas ma jakas ustalona wartosc. Stad wynka, ze jej pochodna wynosi 0 (brak zmian). Majac funkcje liniowa wiemy, ze zmienia sie ona o jakas ustalona wartosc w zaleznosci od x, tzn. majac \(\displaystyle{ f(x)=2x}\) zmienia sie ona o 2, bo dla \(\displaystyle{ x=0,\; f(x)=0;\;x=1,\; f(x)=2;\;x=2\; f(x)=2;\ldots}\). Wiec jej pochodna wynosi 2. Inne funkcje juz nie sa takie oczywiste jak te dwie, ale na nich sie latwo tlumaczy co to ta pochodna Pozdrawiam.

JarTSW · Post autor: **JarTSW** » 21 gru 2008, o 15:37

soku11, obecnie program nauczania jest taki a nie inny.
I my po prostu nie robimy granic, pochodnych, gdyż tego nie ma w programie...Na razie priorytetem jest matura.

soku11 · Post autor: **soku11** » 21 gru 2008, o 15:49

Wiem jaki jest program Tak tylko napisalem, by cie ustrzec przed tym, ze matematyka na dobrych studiach zaklada ze sie zna granice, pochodne, funkcje cyklometryczne, itd w stopniu co najmniej dobrym Pozdrawiam.

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 21 gru 2008, o 19:21

Soku nie do końca jest tak jak mówisz, ja jestem teraz na I roku matematyki i naprawdę biorą pod uwagę te zmiany w programach i tłumaczą od podstaw granice, pochodne i funkcje cyklometryczne, więc można dać sobie radę jeśli nie miało się tego w szkole średniej, co nie zmienia oczywiście faktu że lepiej umieć to wcześniej niż nie umieć, wiem po sobie

soku11 · Post autor: **soku11** » 21 gru 2008, o 19:56

Hmpf... Ja majac wczesniej granice, pochodne itd. rok temu gdy zaczynalem studia nie wiedzialem co sie dzieje Widocznie uczelnie dostosowaly swoje programy do wiedzy po maturze... Aha - to bylo na PW WEiTI jbc.

Pozdrawiam.

Yaco_89 · Post autor: **Yaco_89** » 21 gru 2008, o 20:08

No, różne są uczelnie i różni są wykładowcy, ja akurat trafiłem tak jak trafiłem, dlatego piszę że lepiej oczywiście umieć to przed studiami niż nie

JankoS · Post autor: **JankoS** » 22 gru 2008, o 00:59

soku11 pisze:Warunek na ciaglosc funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\\}\)

Jak ci sie uda zapisac ten warunek bez granic, to bedziesz mial odpowiedz pozytywna na swoje pytanie... A jesli zamierzasz studiowac cos co bedzie mialo taki przedmiot jak matematyka, to mozesz miec ciezko z takim podejsciem, ze nie ma tego w programie Pozdrawiam.

Zapisanie warunku ciągłości funkcji w języku otoczeń jest bardzo łatwe, np.: tak

\(\displaystyle{ \forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 \quad |x-x_0|< \delta |f(x)-f(x_0)|}\)