Równania trygonometryczne 2

[Z_i_o_M_e_K]

Rozwiąż równania:

a)\(\displaystyle{ sinx+sin3x+sin5x=0}\)

b)\(\displaystyle{ sinx+sin2x=sin3x}\)

c)\(\displaystyle{ cosx=sin2x+cos3x}\)

d)\(\displaystyle{ sin5x+sin3x=sin4x}\)

[Wicio]

b)
\(\displaystyle{ sinx+2sinx cosx=sin3x}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx=sin3x-sinx}\)
\(\displaystyle{ 2sinx cosx=2sinxcos2x}\)
\(\displaystyle{ 2sinxcosx-2sinxcos2x=0}\)
\(\displaystyle{ 2sinx(cosx-cos2x)=0}\)

\(\displaystyle{ 2sinx=0}\)

lub

\(\displaystyle{ cosx-cos2x=0}\)

\(\displaystyle{ cosx-(cos^{2}x-sin^{2}x)=0}\)
\(\displaystyle{ cosx-cos^{2}x+sin^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ cosx-cos^{2}x+1-cos^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ cosx=-1}\)


I te dwa równania już powinieneś dać radę rozwiązać

[Kapol]

a)
1. Sposób
Najpierw wyliczyć ile wynosi \(\displaystyle{ \sin 5x}\) :
\(\displaystyle{ \sin 5x =\\ \sin (3x +2x)=\\ \sin x(3-4\sin^{2}x)(1-2\sin^{2}x)+\cos x(4\cos^{2}x-3) 2(\sin x\cos x)=\\ \sin x(8\sin^{4}x-10 \sin^{2}x+3)+2\sin x\cos^{2}x(4\cos^{2}x-3)=\\ 8\sin^{5}x-10\sin^{3}x+3\sin x+2\sin x(1-\sin^{2}x)(1-\sin^{2}x)=\\ 8\sin^{5}x-10\sin^{3}x+3\sin x+2\sin x(4\sin^{4}x-5\sin^{2}x+1)=\\
16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x}\)

Teraz wystarczy podstawić:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x + \sin 5x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x+3\sin x -4\sin^{3}x+16\sin^{5}x-20\sin^{3}x+5\sin x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x(16 sin^{4}x-24\sin^{2}x+9)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x(4\sin^{3}x-3)^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0 \sin^{2}x= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin x=0 \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \sin x= -\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi x= - \frac{2\pi}{3}+2k\pi x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi x=\frac{\pi}{3}+2k\pi x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, k C}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{k\pi}{3}, k C}\)

2. Sposób

\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x +\sin 5x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\sin x(3-4\sin^{2}x) +\sin 2x\cos 3x +\cos 2x\sin 3x=0}\)

Wyłączyć \(\displaystyle{ \sin x}\) i dalej powinno nie być problemów

[Wicio]

3)
\(\displaystyle{ cosx=sin2x+cos3x}\)
\(\displaystyle{ sin2x=cosx-cos3x}\)
\(\displaystyle{ sin2x=-2sin2x sin(-x)}\)
\(\displaystyle{ sin2x=2sin2x sinx}\)
\(\displaystyle{ -sin2x=sinx}\)
\(\displaystyle{ -2sinxcosx=sinx}\)
\(\displaystyle{ -2sinxcosx-sinx=0}\)
\(\displaystyle{ sinx(-2cosx-1)=0}\)

Dalej już łatwo