Matematyka.pl

Uzasadnij tozsamosci trygonometryczne:

a) \(\displaystyle{ sin ^{4} + cos ^{4} = 1- \frac{1}{2} sin ^{2}2 }\)
b) \(\displaystyle{ tg \frac{ }{2} = \frac{1- cos }{sin }}\)
c) \(\displaystyle{ sin ^{4} - cos ^{4} = sin ^{2} - cos ^{2} }\)

Dzieki z gory za pomoc!

a)
\(\displaystyle{ L = (sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)^{2} - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ (1)^{2} - \frac{1}{2}sin^{2}2\alpha}\)
\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}sin^{2}2\alpha}\)

Bo \(\displaystyle{ sin2x=2sinx cosx}\),
a \(\displaystyle{ sin^{2}2x=(2sinxcosx)^{2}=4sin^{2}xcos^{2}x}\)

To
\(\displaystyle{ 2sin^{2} cos^{2}\alpha=\frac{1}{2}(4sin^{2}xcos^{2}x)=\frac{1}{2}sin^{2}2x}\)

c)
Różnica kwadratów
\(\displaystyle{ L=(sin^{2}x-cos^{2}x)(sin^{2}x+cos^{2}x)}\)
\(\displaystyle{ (sin^{2}x-cos^{2}x)=P}\)

b)Od prawej, cosinus podwójnego kąta w liczniku oraz sinus podwójnego kąta w mianiowniku
\(\displaystyle{ P=\frac{1-cos^{2}\frac{x}{2}+sin^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}\)
Z jedynki trygonometrycznej licznik
\(\displaystyle{ \frac{2sin^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}}\)
Poskracać
\(\displaystyle{ \frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}=tg\frac{x}{2}=L}\)