Rozwiązać równanie

[JohnyB]

Mam problem z równaniem trygonometrycznym.

\(\displaystyle{ cos(x+\frac{\pi}{6})=sin2x}\).

Próbowałem rozpisać lewą strone ze wzoru na sumę kątów \(\displaystyle{ cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}\) ale jakoś mi to nie wychodzi.


Z góry dziękuje za pomoc.

[bolo]

Nie ma sensu tak. Zauważ taką zależność: \(\displaystyle{ cos x=sin(x+\frac{\pi}{2})}\).

Z Twojego równania otrzymujemy teraz:
\(\displaystyle{ sin(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2})=sin 2x}\)

Dalej już wszystko jasne.

[JohnyB]

A mógłbyś mi podpowiedzieć co dalej bo mi jakoś nic nie wychodzi. Nawet stosując Twoja porade.

[bolo]

Miałem na myśli coś takiego:

\(\displaystyle{ sin(x+\frac{2}{3}\pi)-sin 2x= 0}\)

I teraz ze wzoru na różnicę sinusów:

\(\displaystyle{ 2 sin(\frac{x+\frac{2}{3}\pi-2x}{2}) cos(\frac{x+\frac{2}{3}\pi+2x}{2})=0 \\ sin(-x+\frac{\pi}{3}) cos(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{3})=0}\)

Teraz już tylko rozpatrzeć kiedy sin lub kiedy cos jest równy 0.

[JohnyB]

Wielkie dzięki dalej sobie poradze bez problemu.