F. tryg. sumy i różnicy. Wykaż, że...

[wielkidemonelo]

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ 2(1+ cos )-sin ^2{ } = 4cos ^{4} \frac{ }{2}}\)
Zupełnie nie wiem jak pogryźć
Aha i \(\displaystyle{ cos2 2cos }\), zgadza się?

[esiu]

\(\displaystyle{ 2(1+cos\alpha)-(2sin\frac{\alpha}{2} cos\frac{\alpha}{2})^{2}=4cos^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})=4cos^{2}\frac{\alpha}{2}-4cos^{2}\frac{\alpha}{2}sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ L=2+2cos\alpha-4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
Skracają się z lewej i prawej \(\displaystyle{ -4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
Zostaje \(\displaystyle{ 4cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2cos\alpha-2=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ cos\frac{\alpha}{2}=t}\) \(\displaystyle{ t\in }\)
I mamy \(\displaystyle{ 4t^{2}-2t-2=0}\)
Z tego \(\displaystyle{ t_{1}=-\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ t_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\alpha_{1}}{2}=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\frac{\alpha_{2}}{2}=1}\)

\(\displaystyle{ \alpha}\) już wyliczasz...

Aha, a w pierwszym wierszu \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha}\) to wziąłem z wzoru na dwukrotność kąta \(\displaystyle{ sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha}\)

[Marmon]

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ L=2(1+cos\alpha)-sin^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ 2(1+2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1)-sin^{2}\alpha}\) \(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ 4cos^{2}\frac{\alpha}{2}-4sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\) \(\displaystyle{ (**)}\)
\(\displaystyle{ 4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1-sin^{2}\frac{\alpha}{2})}\)
\(\displaystyle{ 4cos^{2}\frac{\alpha}{2}(cos^{2}\frac{\alpha}{2})}\)
\(\displaystyle{ 4cos^{4}\frac{\alpha}{2}=P}\) c.n.d.

\(\displaystyle{ (*) cos2\alpha=2cos^{2}\alpha-1}\)
\(\displaystyle{ (**) sin^{2}2\alpha=(sin2\alpha)^{2}=(2sin\alpha cos\alpha)^{2}=4sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha}\)
pozdro