Równania trygonometryczne i postać iloczynowa

[krzych07]

1. Doprowadzić do postaci iloczynowej:
a)\(\displaystyle{ \sin x - \cos x}\)
b)\(\displaystyle{ \sin x + \sin 3x + \sin 5x}\)
2. Dla jakiego m równanie ma rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sin ^{4} x + \cos ^{4} x = m}\)

[bedbet]

a.)

Np:

\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=\sin x-\sin (\frac{\pi}{2}+x)}\)

I wzór na różnicę kosinusów

b.)

Wskazówka:

\(\displaystyle{ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos 2x= \sin 4x}\)

c.)

Wskazówka:

\(\displaystyle{ 1=(\sin^2x+\cos^2x)^2=\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x}\)

Jeśli szukamy takiego \(\displaystyle{ m}\), dla którego równanie ma w ogóle rozwiązania, tzn. że szukamy po prostu zbioru wartości tej funkcji.

[krzych07]

a i b rozumiem -> dzieki
c tez to zapisałem w tej postaci i doszedlem ze szukamy zbioru wartości, cały czas jednak mi tam jakies sprzecznosci wychodza, jakby moglby to ktos pociagnac pare linijek dalej

[bedbet]

\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=1-\frac{(2\sin x\cos x)^2}{2}=1-\frac{\sin^22x}{2}}\)

Zatem trzeba określić przeciwdziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{\sin^22x}{2}}\).

I. sposób:

Mamy oczywistą nierówność dla funkcji trygonometrycznych:

\(\displaystyle{ -1\leq\sin x\leq 1 \\
\\
-1\leq\sin 2x\leq 1 \\
\\
0\leq\sin^22x\leq 1 \\
\\
-1\leq -\sin^22x\leq 0 \\
\\
-\frac{1}{2}\leq -\frac{\sin^22x}{2}\leq 0 \\
\\
\frac{1}{2}\leq 1-\frac{\sin^22x}{2}\leq 1}\)

Zatem zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest przedział \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2};1\right]}\), czyli wyjściowe równanie ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ m\in ft[\frac{1}{2};1\right]}\).

II sposób:

Po przekształceniach mamy równanie postaci:

\(\displaystyle{ 1-\frac{\sin^22x}{2}=m}\), zatem:

\(\displaystyle{ 1-\frac{\sin^22x}{2}=m \\
\\
-\frac{\sin^22x}{2}=m-1 \\
\\
\sin^22x=2-2m\Rightarrow 0\leq 2-2m\leq 1}\)

Czyli otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 0\leq 2-2m\leq 1 \\
\\
-2\leq -2m\leq -1 \\
\\
\frac{1}{2}\leq m\leq 1}\)

[krzych07]

dzieki cały czas robilem glupi blad rachunkowy