nierówność trygonometryczna

[levik]

Witam! Oto zadanie:

Wykaż, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ x R}\) prawdziwa jest nierówność.

\(\displaystyle{ |3sinx+2cosx| qslant \sqrt{13}}\)

Podniosłem obie strony do kwadratu, ale co dalej ??

Dzięki za pomoc. Pozdr.

[soku11]

\(\displaystyle{ |3\sin x+2\cos x|\le \sqrt{13}\\
ft| \frac{3}{\sqrt{13}}\sin x+\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x\right| 1\\}\)

Teraz warto zauwazyc, ze:
\(\displaystyle{ \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right)^2=1}\)

Wiec moze to byc wartosc funkcji trygonometrycznej jakiegos kata \(\displaystyle{ \varphi}\). Czyli:
\(\displaystyle{ |\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x|\le 1\\
|\cos (x-\varphi)|\le 1\\
-1\le \cos(x-\varphi)\le 1}\)

A to jest oczywiscie spelnione dla kazdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\).

Pozdrawiam.

[levik]

OK dzięki za rozwiązanie, ale czy mógłby ktoś rozwiązać to zadanie podnosząc obustronnie do kwadratu. Thx