Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Tomek10514
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 23 lis 2008, o 17:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: krk
Podziękował: 1 raz

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Post autor: Tomek10514 »

Mam problem z tymi rownaniami:

a) \(\displaystyle{ 4(log_2cosx)^2 + log_2(1+cos2x)=3}\)

b) \(\displaystyle{ sin(\pi\ logx) + cos(\pi\ logx)=1}\)


\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ^{log _{0.5} ^{2}sinx } + (sinx) ^{log _{0.5} sinx} =1}\)

Prosilbym o pomoc w rozwiazaniu!
z gory dziekuje
Awatar użytkownika
tomekture8
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 194
Rejestracja: 13 sty 2008, o 21:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: turek
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 40 razy

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Post autor: tomekture8 »

w podpunkcjie b podstawiasz za


\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ \log (x)}\) = t

\(\displaystyle{ \sin t + \cos t = 1}\)

Po obliczeniu wychodzi

t = \(\displaystyle{ 2k \pi}\) lub t = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + 2k \pi}\)

\(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ \log (x)}\) = \(\displaystyle{ 2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \pi}\)\(\displaystyle{ \log (x)}\) = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + 2k \pi}\)








podpunkt a

4\(\displaystyle{ (\log_{2}\cos x) ^{2}}\) = \(\displaystyle{ (2\log_{2}\cos x) ^{2}}\) = \(\displaystyle{ [\log_{2}(\cos x) ^{2} ] ^{2}}\)


\(\displaystyle{ 1+ \cos 2x = 1 + (\cos x) ^{2} - (\sin x) ^{2} = 1 + (\cos x) ^{2} - 1 + (\cos x) ^{2} = 2(\cos x) ^{2}}\)

\(\displaystyle{ \log_{2} (1+ \cos 2x) = \log_{2} [2(\cos x) ^{2}] = \log_{2} [(\cos x) ^{2}] + \log_{2} 2}\)

Ostatecznie:

\(\displaystyle{ [\log_{2}(\cos x) ^{2} ] ^{2}}\) + \(\displaystyle{ \log_{2} [(\cos x) ^{2}] + \log_{2} 2 - 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ \log_{2} [(\cos x) ^{2}] = t}\)

\(\displaystyle{ t^{2} + t - 2 = 0}\)




podpunkt c

\(\displaystyle{ 0.5^{\log^{2}_{0.5} \sin x} = (0.5^{ \log_{0.5} sin x }) ^{\log_{0.5} sin x} = (\sin x) ^{\log_{0.5} sin x}}\)



\(\displaystyle{ (\sin x) ^{\log_{0.5} sin x} + (\sin x) ^{\log_{0.5} sin x} = 1}\)

\(\displaystyle{ (\sin x) ^{\log_{0.5} sin x} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \log_{0.5}(\sin x ) ^{{\log_{0.5} sin x}} = \log_{0.5} \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ {\log_{0.5} sin x} * {\log_{0.5} sin x} = 1}\)

\(\displaystyle{ {\log_{0.5} sin x} = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{1}{2}}\)
ODPOWIEDZ