Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} cos \frac{2 \pi }{5}=\frac{1}{4}}\)
Próbowałem z lewej strony równania cosinus z 2/5 pi potraktować jako cosinus z podwojonego kąta, ale nie doszedłem do niczego, co by mi pomogło. Próbowałem też rozbić miary kątów na jakieś kąty, dla których wartości funkcji są znane - i też nic. Może ktoś podsunąć jakiś pomysł?
Funkcje tryg. sumy/różnicy miar kątów.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 119
- Rejestracja: 29 lis 2007, o 23:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 6 razy
Funkcje tryg. sumy/różnicy miar kątów.
\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}= \frac{sin \frac{\pi}{5} cos\frac{\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}}{sin \frac{\pi}{5} }= \frac{sin \frac{2\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5} }{2sin \frac{\pi}{5}} = \frac{sin \frac{4\pi}{5} }{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{sin(\pi- \frac{4\pi}{5}) }{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{1}{4}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Funkcje tryg. sumy/różnicy miar kątów.
A możesz napisać do tego jakiś komentarz? Bo rozumiem tylko pierwsze i ostatnie przejście (tzn. od tego co jest po lewej stronie pierwszego znaku "=" do tego co jest po prawej stronie tego samego znaku i analogicznie dla ostatniego znaku równości).
-
- Użytkownik
- Posty: 78
- Rejestracja: 3 mar 2008, o 17:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Milky Way
- Pomógł: 20 razy
Funkcje tryg. sumy/różnicy miar kątów.
Kolejno:
1.Domnażamy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{5}}\) dla uzyskania wzoru na sinus podwojonego kąta
2.Z iloczynu sinusa i cosinusa (tego samego kąta) tworzymy sinus podwojonego kąta
3.Z kolejnego iloczyny sinusa i cosinusa(tego samego kąta) znów tworzymy sinus podowojonego kąta
4.Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ sin(\pi - )}\)
5. Otrzymujemy wynik.
//w poście wyżej jest błąd, powinno być
\(\displaystyle{ \frac{sin(\pi- \frac{\pi}{5})}{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{1}{4}}\)
1.Domnażamy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{5}}\) dla uzyskania wzoru na sinus podwojonego kąta
2.Z iloczynu sinusa i cosinusa (tego samego kąta) tworzymy sinus podwojonego kąta
3.Z kolejnego iloczyny sinusa i cosinusa(tego samego kąta) znów tworzymy sinus podowojonego kąta
4.Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ sin(\pi - )}\)
5. Otrzymujemy wynik.
//w poście wyżej jest błąd, powinno być
\(\displaystyle{ \frac{sin(\pi- \frac{\pi}{5})}{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{1}{4}}\)