Funkcje tryg. sumy/różnicy miar kątów.

[_Mithrandir]

Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} cos \frac{2 \pi }{5}=\frac{1}{4}}\)

Próbowałem z lewej strony równania cosinus z 2/5 pi potraktować jako cosinus z podwojonego kąta, ale nie doszedłem do niczego, co by mi pomogło. Próbowałem też rozbić miary kątów na jakieś kąty, dla których wartości funkcji są znane - i też nic. Może ktoś podsunąć jakiś pomysł?

[schmude]

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}= \frac{sin \frac{\pi}{5} cos\frac{\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}}{sin \frac{\pi}{5} }= \frac{sin \frac{2\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5} }{2sin \frac{\pi}{5}} = \frac{sin \frac{4\pi}{5} }{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{sin(\pi- \frac{4\pi}{5}) }{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{1}{4}}\)

[_Mithrandir]

A możesz napisać do tego jakiś komentarz? Bo rozumiem tylko pierwsze i ostatnie przejście (tzn. od tego co jest po lewej stronie pierwszego znaku "=" do tego co jest po prawej stronie tego samego znaku i analogicznie dla ostatniego znaku równości).

[xbw]

Kolejno:
1.Domnażamy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ sin \frac{\pi}{5}}\) dla uzyskania wzoru na sinus podwojonego kąta

2.Z iloczynu sinusa i cosinusa (tego samego kąta) tworzymy sinus podwojonego kąta

3.Z kolejnego iloczyny sinusa i cosinusa(tego samego kąta) znów tworzymy sinus podowojonego kąta

4.Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ sin(\pi - )}\)

5. Otrzymujemy wynik.

//w poście wyżej jest błąd, powinno być
\(\displaystyle{ \frac{sin(\pi- \frac{\pi}{5})}{4sin \frac{\pi}{5} }= \frac{1}{4}}\)