Narysuj wykresy następujących funkcji: \(\displaystyle{ ctgx+|ctgx|,\frac{sinx}{|sinx|},cosx-|2cosx|,cos^{4}x-sin^{4}x,cos^{2}x,-\frac{1}{3}sin^{2}x,sinxcosx, \\ tgx-ctgx,tgx(tgx-5ctgx),(tgx+ctgx)^{2}}\)
Funkcje \(\displaystyle{ y=acosbx+c,y=sin^{2}x}\) są przystające. Znajdź a,b,c.
Narysować wykres dziwnych funkcji
-
Eriol Velcrow
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 26 lut 2007, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Narysować wykres dziwnych funkcji
1.)
\(\displaystyle{ y=ctgx+|ctgx|= \begin{cases} 2ctgx:ctgx qslant 0 \\ 0:ctgx k\pi,k\inC}\)
szkicujesz sobie wykres ctgx i widzisz, w jakich przedziałach jest dodatni/ujemny, tam gdzie jest ujemny rysujesz odcniek na osi OX, tam gdzie jest dodatni, wykres "2 razy szerszy"
2.)
\(\displaystyle{ y=\frac{|sinx|}{sinx}= \begin{cases} 1:sinx qslant 0 \\ -1:sinx0 \end{cases}}\)
Szkicujesz wykres cosx, tam, gdzie jest dodatni, rysujesz fragment wykresu \(\displaystyle{ -cosx}\), tam gdzie ujemny - fragment \(\displaystyle{ 3cosx}\)
4.)
\(\displaystyle{ y=cos^{4}x-sin^{4}x=(cos^{2}x+sin^{2}x)(cos^{2}x-sin^{2}x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos2x}\)
5.)
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x}\)
6.)
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}sin^{2}x=-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{cos2x}{2})=\frac{1}{6}cos2x-\frac{1}{6}}\)
7.)
\(\displaystyle{ y=sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x}\)
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:29 ]
8.)
\(\displaystyle{ y=tgx-ctgx=\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{sin^{2}x-cos^{2}x}{sinxcosx}=\frac{-2cos2x}{sin2x}=-2ctg2x}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
9.)
\(\displaystyle{ y=tgx(tgx-5ctgx)=tg^{2}x-5}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
10.)
\(\displaystyle{ y=(tgx+ctgx)^{2}= ft( \frac{2}{sin2x} \right)^{2}=\frac{4}{sin^{2}2x}}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:39 ]
9. i 10. nie da się przedstawić w postaci bardziej standardowej, sprawdzałem w Derive. Korzystałem ze wzorów na \(\displaystyle{ sin2\alpha,cos2\alpha}\) (są na karcie wzorów z matmy) i jeszcze ze wzorów \(\displaystyle{ 1+cos2\alpha=2cos^{2}\alpha,1+cos2\alpha=2sin^{2}\alpha}\).
Uzasadnienie tych ostatnich wzorów: na karcie jest wzór na \(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta}\), podstaw \(\displaystyle{ \alpha=0,\beta=2x}\). Na karcie jest wzór na \(\displaystyle{ cos\alpha-cos\beta}\), podstaw \(\displaystyle{ \alpha=0,\beta=2x}\).
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:40 ]
Korzystając z tych ostatnich wzorów, natychmiast można rozwiązać ostatnie zadanie.
\(\displaystyle{ y=ctgx+|ctgx|= \begin{cases} 2ctgx:ctgx qslant 0 \\ 0:ctgx k\pi,k\inC}\)
szkicujesz sobie wykres ctgx i widzisz, w jakich przedziałach jest dodatni/ujemny, tam gdzie jest ujemny rysujesz odcniek na osi OX, tam gdzie jest dodatni, wykres "2 razy szerszy"
2.)
\(\displaystyle{ y=\frac{|sinx|}{sinx}= \begin{cases} 1:sinx qslant 0 \\ -1:sinx0 \end{cases}}\)
Szkicujesz wykres cosx, tam, gdzie jest dodatni, rysujesz fragment wykresu \(\displaystyle{ -cosx}\), tam gdzie ujemny - fragment \(\displaystyle{ 3cosx}\)
4.)
\(\displaystyle{ y=cos^{4}x-sin^{4}x=(cos^{2}x+sin^{2}x)(cos^{2}x-sin^{2}x)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos2x}\)
5.)
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x}\)
6.)
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}sin^{2}x=-\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{cos2x}{2})=\frac{1}{6}cos2x-\frac{1}{6}}\)
7.)
\(\displaystyle{ y=sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x}\)
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:29 ]
8.)
\(\displaystyle{ y=tgx-ctgx=\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{sin^{2}x-cos^{2}x}{sinxcosx}=\frac{-2cos2x}{sin2x}=-2ctg2x}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
9.)
\(\displaystyle{ y=tgx(tgx-5ctgx)=tg^{2}x-5}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
10.)
\(\displaystyle{ y=(tgx+ctgx)^{2}= ft( \frac{2}{sin2x} \right)^{2}=\frac{4}{sin^{2}2x}}\)
\(\displaystyle{ x \frac{k\pi}{2},k\in C}\)
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:39 ]
9. i 10. nie da się przedstawić w postaci bardziej standardowej, sprawdzałem w Derive. Korzystałem ze wzorów na \(\displaystyle{ sin2\alpha,cos2\alpha}\) (są na karcie wzorów z matmy) i jeszcze ze wzorów \(\displaystyle{ 1+cos2\alpha=2cos^{2}\alpha,1+cos2\alpha=2sin^{2}\alpha}\).
Uzasadnienie tych ostatnich wzorów: na karcie jest wzór na \(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta}\), podstaw \(\displaystyle{ \alpha=0,\beta=2x}\). Na karcie jest wzór na \(\displaystyle{ cos\alpha-cos\beta}\), podstaw \(\displaystyle{ \alpha=0,\beta=2x}\).
[ Dodano: 19 Listopada 2008, 16:40 ]
Korzystając z tych ostatnich wzorów, natychmiast można rozwiązać ostatnie zadanie.