Nierówność trygonometryczna w trójkącie

neworder · Post autor: **neworder** » 26 lis 2005, o 19:45

Mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ ctgx+ctgy+ctgz q 3sqrt{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ x+y+z=\frac{\pi}{2}}\)
Pytanie - czy da się tego typu nierówności, często pojawiające się w zadaniach o trójkącie, efektywnie robić z użyciem pochodnych w jakiś sposób? Można je dowodzić sprowadzając rzecz do boków, promieni itd., ale czy da się takie nierówności trygonometryczne rozwiązać bezpośrednio, korzystając tylko z własności funkcji trygonometrycznych, pochodnej itd.?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 26 lis 2005, o 20:01

Z nierówności Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=\cot x}\) wypukłej, gdy \(\displaystyle{ x\in(0, \pi/2)}\) mamy:

\(\displaystyle{ \cot x + \cot y + \cot z q 3\cot\left(\frac{x+y+z}{3}\right) = 3\cot\frac{\pi}{6} = 3\sqrt{3}}\).

Zakładam, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) należą do tamtego przedziału. Przecież suma kątów w trójkącie jest troszkę inna...

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

neworder · Post autor: **neworder** » 26 lis 2005, o 20:05

Fakt, o Jensenie zapomniałem. Dzięx.

g · Post autor: g » 27 lis 2005, o 13:45

a jak jakies zmienne sa ujemne? tresc zadania tego nie wyklucza.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 27 lis 2005, o 13:48

g: Rzuć okiem na topic, troszkę to się 'miesza', ale na moje oko rzeczywiście \(\displaystyle{ x,y,z>0}\). Może to są połówki kątów trójkąta?:)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

neworder · Post autor: **neworder** » 27 lis 2005, o 14:09

Może to są połówki kątów trójkąta?

Bingo