Udowodnić, że 10sin10 >1

[klaudiak]

Bez użycia kalkulatora oraz tablic udowodnić, że \(\displaystyle{ 10 \cdot sin10^0>1}\)

[Nixur]

\(\displaystyle{ sin 3x=sinx(3-4sin ^{2}x )}\)
x=10
\(\displaystyle{ sin 30=sin10(3-4sin ^{2}10 )= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0= sin10(3-4sin ^{2}10)- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0= 3sin(10)-4sin ^{3}(10)- \frac{1}{2}}\)
sin(10)=y
\(\displaystyle{ 0= 3y-4y ^{3}- \frac{1}{2}}\) //:-4
Nie widzę wymiernych pierwiastków równania, więc trzeba trochę bardzoiej skomplikowanie.

\(\displaystyle{ 0= y ^{3}- \frac{3y}{4}+ \frac{1}{8}}\)
postać kanoniczna równania sześciennego:
\(\displaystyle{ 0= y ^{3}+py+q}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{-3}{4}}\) \(\displaystyle{ q=\frac{1}{8}}\)
Metoda Harriotta
\(\displaystyle{ y=z- \frac{p}{3z}}\)
\(\displaystyle{ 0=z ^{3}- \frac{p ^{3} }{27z ^{3} }+q}\)
\(\displaystyle{ t=z ^{3}}\)
\(\displaystyle{ 0=t ^{2}+qt-\frac{p ^{3} }{27}}\)
\(\displaystyle{ 0=t ^{2}+ \frac{t}{8} +\frac{27 }{27*64}}\)
\(\displaystyle{ 64t ^{2}+8t+1=0}\)
Delta jest ujemna więc nie ma pierwiastków rzeczywistych
Coś sknociłem, gdyż muszą być. Metoda jest chyba dobra wyliczyć sin10 i podstawić.

[klaudiak]

Metodę obrałam identyczną, tylko właśnie zatrzymałam się na tym równaniu. Nie wiedziała, ze istnieją wzory na postać kanoniczną równanaia sześciennego. Poczytam o tym i spróbuję policzyć.

PS
Może macie w ogóle jakiś inny pomysł na rozkminienie tego problemu?

[Lorek]

Wsk. udowodnij że \(\displaystyle{ \sin 7,5^{\circ}>\frac{1}{10}}\)

[klaudiak]

W jaki sposób?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\; \cos 15^{\circ} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\)