Sprawdzić tożsamość

[nartynka]

Sprawdzić tożsamość:

a) \(\displaystyle{ \frac{cos x + tg x}{sin x cos x } = \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos ^{2} x}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{sin - sin ^{3} }{cos -cos ^{3} } = ctg }\)
c) \(\displaystyle{ cos ^{2} = \frac{1+cos2 }{2}}\)

Bardzo proszę o pomoc i z góry serdecznie dziękuję za odpowiedź

[xanowron]

Sprawdzić tożsamość:

a) \(\displaystyle{ \frac{cos x + tg x}{sin x cos x } = \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos ^{2} x}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{sin - sin ^{3} }{cos -cos ^{3} } = ctg }\)
c) \(\displaystyle{ cos ^{2} = \frac{1+cos2 }{2}}\)

Bardzo proszę o pomoc i z góry serdecznie dziękuję za odpowiedź

a)

\(\displaystyle{ \frac{cos x + tg x}{sin x cos x } = \frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos ^{2} x}}\)

\(\displaystyle{ L=\frac{cos x + tg x}{sin x cos x }=\frac{cosx+\frac{sinx}{cosx}}{sin x cos x}= \frac{\frac{cos^{2}x+sinx}{cosx}}{sin x cos x}=\frac{cos^{2}x+sinx}{cosx}\cdot\frac{1}{sin x cos x}=\frac{cos^{2}x+sinx}{sin x cos^{2} x}=\frac{1}{sin x} + \frac{1}{cos ^{2} x}=P}\)

b) tutaj skorzystałem z jedynki trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \frac{sin - sin ^{3} }{cos -cos ^{3} } = ctg }\)

\(\displaystyle{ L=\frac{sin - sin ^{3} }{cos -cos ^{3} }=\frac{sin (1-sin ^{2} )}{cos (1-cos ^{2} )}=tg\alpha(\frac{1-sin ^{2} }{1-cos ^{2} })=tg\alpha\cdot ctg^{2}\alpha=\frac{1}{ctg\alpha}\cdot ctg^{2}\alpha=ctg\alpha=P}\)


c) tutaj wzór na cosinusa podwojonego kąta: \(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x}\) i z jedynki trygonometrycznej

\(\displaystyle{ cos ^{2} = \frac{1+cos2 }{2}}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1+cos2 }{2}=\frac{1+cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}{2}= \frac{1+cos^{2}\alpha-1+cos^{2}\alpha}{2}=\frac{2cos^{2}\alpha}{2}=cos ^{2} =L}\)

[nartynka]

Cieszę się, że mogę podziękować Ci za pomoc i za chęć podzielenia się swoją wiedzą Pozdrawiam i dzięki!!!