Równania i nierówności

[dejwit1989]

Witam! Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu poniższych przykładów.

1. \(\displaystyle{ \frac{sin x + cos x}{cos 2x} qslant 0}\)

2. \(\displaystyle{ sinxsin2xsin3x= \frac{1}{4}sin4x}\)

3. \(\displaystyle{ cos ^{2}x + cos ^{3} x + cos ^{4} +...qslant 2 + sin x}\)

Jeśli ktoś ma ochotę rozwiązać, to będę wdzięczny.

[frej]

1. \(\displaystyle{ D: \mathbb{R} \backslash \{ \frac{\pi}{4} +k\pi \}}\)

\(\displaystyle{ cos2x=cos^2{x}-sin^2{x}=(sin{x}+cos{x})(cos{x}-sin{x})}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin{x} +cos{x}}{cos{2x}}=\frac{1}{cos{x}-sin{x}} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ cos{x} \ge sin{x}}\)

Tutaj wykres ci pomoże, pamiętaj o dziedzinie

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 12:36 ]
3. Szereg geometryczny
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad cos{x}=1}\) brak rozwiązań
\(\displaystyle{ 2^\circ \quad 1-cos{x} >0}\)
\(\displaystyle{ \frac{cos^2{x}}{1-cos{x}} < 1+cos{x}}\)
\(\displaystyle{ cos^2{x}< 1-cos^2{x}}\)
\(\displaystyle{ cos^2{x} (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}\)
znowu wykres

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 12:44 ]
2. \(\displaystyle{ 4sinx sin{2x} sin{3x} =sin{4x}}\)
\(\displaystyle{ 2sinx sin{3x}=cos{2x}-cos{4x}}\)
\(\displaystyle{ 2sin{2x}(cos{2x}-cos{4x})=sin{4x}-2sin{2x}cos{4x}=sin{4x}}\)
\(\displaystyle{ sin{2x}cos{4x}=0}\)
\(\displaystyle{ sin{2x}=0 \quad \quad \cos{4x}=0}\)

To zostawiam dla Ciebie

[dejwit1989]

Wielkie dzięki! A ostatnia nierówność? Jak rozwiązuje się nierówności, gdy w liczniku i mianowniku są funkcje trygonometryczne? Bo po przeliczeniach dochodzę do takiego wyniku:

\(\displaystyle{ \frac{cos ^{2}x +2sinx - 2cosx - sinxcosx }{cosx}}\)

Nie mogę podzielić przez cosx (choć nie jest zerem), bo nie wiem jak zmieni mi się znak nierówności.

A może sposób jest zły?

[frej]

5.
\(\displaystyle{ cos{x}-sin{x} \le 2(\frac{cos{x}-sin{x}}{cos{x}})}\)
\(\displaystyle{ 0\le (cos{x}-sin{x}) \frac{2-cos{x}}{cos{x}}}\)

[ Dodano: 11 Listopada 2008, 19:21 ]
\(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb{R}} 2-cos{x} >0}\), więc po podzieleniu mamy:
\(\displaystyle{ 0\le 1-tg{x} \\ tg{x} 1 \\ x\in (-\frac{\pi}{2}+k\pi, \arc\tg 1 +k\pi]}\)

[dejwit1989]

no ok. ale jak dalej to rozwiązać?

[frej]

dejwit1989, właśnie rozwiązałem
Dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ 2-cos{x} >0}\), więc możemy przez to podzielić obie strony i mamy:
\(\displaystyle{ 0\le \frac{cosx-sinx}{cos{x}}=1-tg{x} \\ 1\ge tg{x}}\)

no i teraz z tablic odczytać, dla jakiego to jest kąta.