Równanie trygonometryczne z parametrem

[JarTSW]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których:
\(\displaystyle{ 1+sin^2(mx)=cosx}\)
ma tylko jedno rozwiązanie.

[soku11]

\(\displaystyle{ \sin ^2(mx)=\cos x-1\\
f(x)=g(x)\\}\)

Warto zauwazyc, ze:
\(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}\;\;\sin^2(x)\ge0\;\Rightarrow\;\sin^2(mx)\ge0\\
\forall_{x\in\mathbb{R}}\;\;\ -1\le \cos (x)\le 1\;\Rightarrow\;
-2\le \cos (x)-1\le 0}\)

Czyli jedynymi mozliwymi miejscami przeciecia sie tych funkcji jest prosta y=0. A jako, ze funkcja \(\displaystyle{ \cos x-1}\) ma na tej prostej nieskonczenie wiele rozwiazan, to stad wynika, ze nigdy te wykresy nie beda sie przecinaly tylko raz. Wniosek? \(\displaystyle{ m\in\phi}\).

Chyba nigdzie sie w moich rozwazaniach nie pomylilem Pozdrawiam.

[MatizMac]

Przywracam zadanko, bo się nie zgadzam z odp., a przynajmniej książka się nie zgadza
Odp. brzmi, że m należy do R - W . Czy ktoś potrafi to wyjaśnić?

[soku11]

Rzeczywiście takiej możliwości nie przewidziałem Dla takich m dostaniemy tylko rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\), zawsze. Dla innych wartości po prostu okres będzie również niewymierny i wartości się nie wyrównają

Pozdrawiam.

[MatizMac]

Aha, czyli moznaby to sobie tak zapisac np. ze x z pierwszego: \(\displaystyle{ x=\frac{k}{m}\pi}\) a z drugiego \(\displaystyle{ x=2n\pi}\) i n,k należą do całkowitych... wiec powstaje nierownosc \(\displaystyle{ \frac{k}{m} \neq 2n}\) a to tylko dla m niewymiernych... \(\displaystyle{ k,n \in C}\)

...dobra troche bez sensu to napisalem nawet jesli to prawda dzieki, pozdro