Zbadaj, które z danych funkcji są okresowe:
\(\displaystyle{ a) f(x)=sinx-cosx}\)
\(\displaystyle{ b)f(x)=1-cos2x}\)
\(\displaystyle{ c)f(x)= cos^{2}x}\)
Okresowość funkcji
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
Okresowość funkcji
No to np. weźmy c) \(\displaystyle{ \cos^2 x}\) i \(\displaystyle{ T\neq 0}\), załóżmy, że jest okresowa, więc zachodzi \(\displaystyle{ \cos^2 x =\cos^2 (x+T)}\). I przekształcamy:
\(\displaystyle{ \cos^2 (x+T)-\cos^2x=0\\(\cos (x+T)-\cos x)(\cos (x+T)+\cos x)=0\\-2\sin (x+\frac{T}{2})\sin \frac{T}{2}\cdot 2\cos (x+\frac{T}{2})\cos \frac{T}{2}=0}\)
przypadki x-ozależne nas nie interesują, zostaje
\(\displaystyle{ \sin\frac{T}{2}\cos \frac{T}{2}=0\iff \sin T=0\iff T=k\pi}\)
i mamy okres (po wykluczeniu T=0)
\(\displaystyle{ \cos^2 (x+T)-\cos^2x=0\\(\cos (x+T)-\cos x)(\cos (x+T)+\cos x)=0\\-2\sin (x+\frac{T}{2})\sin \frac{T}{2}\cdot 2\cos (x+\frac{T}{2})\cos \frac{T}{2}=0}\)
przypadki x-ozależne nas nie interesują, zostaje
\(\displaystyle{ \sin\frac{T}{2}\cos \frac{T}{2}=0\iff \sin T=0\iff T=k\pi}\)
i mamy okres (po wykluczeniu T=0)