Miary kątów

[evelinaa]

Potrafie zamienic wartosc na miare lukowa np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}}\), ale dlaczego w zadaniu gdzie jest \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2}} = \cos \frac{3 \pi}{4}}\). w koncu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}}\) to \(\displaystyle{ \cos 45^\circ}\) wiec wynik wedlug mnie powinien byc \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) dlaczego tak nie jest?

Zapoznaj się z instrukcją LaTeX-a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52

[JankoS]

Potrafie zamienic wartosc na miare lukowa np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) = cosinus \(\displaystyle{ \frac{pi}{3}}\), ale dlaczego w zadaniu gdzie jest minus\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}}\) = cosinus \(\displaystyle{ \frac{3pi}{4}}\). w koncu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}}\) to cosinus 45 stopni, wiec wynik wedlug mnie powinien byc \(\displaystyle{ \frac{pi}{4}}\) dlaczego tak nie jest?

\(\displaystyle{ 45 ^{\circ}}\) po zamianie na radiany daję \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}.}\)
Ja akurat nie widzę w cytowanym tekście zamianystopni na radiany.
W podanym przykładzie \(\displaystyle{ cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{ \sqrt{2}}{2}}\) wszystko "gra". Po jego prawej stronie - bez straty sensowności - nie może być wartości kąta ani radianach , ani w stopniach. te ostatnie mogą się znaleźć po stranie lewej \(\displaystyle{ cos\frac{3\pi}{4}=cos(180 ^{\circ} -45 ^{\circ})=-cos45 ^{\circ}= - \frac{ \sqrt{2}}{2}.}\)

[evelinaa]

moze napisze to jeszcze raz, dokladniej, bo dalej nie bardzo rozumiem;/ prosze o takie wytlumaczenie po kolei jak chlopu na miedzy ;D

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), z tabelki wiem,że jest to \(\displaystyle{ \cos60}\)stopni, a z kolei 180: 60= \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3}}\),

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) to \(\displaystyle{ \sin60}\)stopni, a 180:60= \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3}}\)


dlaczego, więc w ten sam sposób nie liczę gdy mam : \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) znowu z tabelki wiem,że jest to \(\displaystyle{ \cos45}\)stopni, a 180: 45= \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}}\) i tak samo z sinusem. dlaczego nie zostawiam wyniku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko mam \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)? w jaki sposób licze to, zeby uzyskac w ogole to \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)?

[JankoS]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), z tabelki wiem,że jest to \(\displaystyle{ \cos60}\)stopni, a z kolei 180: 60= \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{3}}\),
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\) to \(\displaystyle{ \sin60}\)stopni, a 180:60= \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3}}\)

180: 60= \(\displaystyle{ 3 \cos \frac{\pi}{3}.}\) Podobnie 180:60= \(\displaystyle{ 3 \sin \frac{\pi}{3}.}\)

dlaczego, więc w ten sam sposób nie liczę gdy mam : \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) znowu z tabelki wiem,że jest to \(\displaystyle{ \cos45}\)stopni, a 180: 45= \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{4}}\) i tak samo z sinusem. dlaczego nie zostawiam wyniku \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko mam \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)? w jaki sposób licze to, zeby uzyskac w ogole to \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\)?

Koleżanka konsekwentnie myli wartości funkcji z ich argumentami. Niech \(\displaystyle{ sinx=\frac{ \sqrt{2}}{2}.}\) Z tabelki wiemy, że jest to sin45 stopni, ponadto ze wzorów redukcyjnych taki sam sinus ma kąt 135 stopni. Żeby było "naukowo" zamieniamy stopnie na radiany i mamy: dla 45 - \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} [rad],}\) dla 135 - \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} [rad].}\) Tak więc, dla kąta mniejszego od pełnego
\(\displaystyle{ sinx=\frac{ \sqrt{2}}{2} sinx=sin45 ^{\circ} =sin135 ^{\circ}=sin\frac{\pi}{4}=sin\frac{3\pi}{4}.}\).

[evelinaa]

Ok z sinx\(\displaystyle{ =\frac{\sqrt{2}}{2}}\) wychodzi to \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\), ale dalej nie moge zrozumieć dlaczego w takim razie mając cosx\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}}\), co z tabelki daje nam cos60 stopni, z wzorow redukcyjnych w takim razie 120stopni, dla 60stopni = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}[rad]}\), dla 120stopni=\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) w zadaniu wykorzystuje wartość dla tych 60stopni? dlaczego nie biorę w takim razie tej drugiej wartosci \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) ? bo w koncu w pierwszym przykladzie tez nie biorę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) ?

ale to zamotalam znowu ;p

[/latex]

[JankoS]

dlaczego w takim razie mając cosx\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}}\), co z tabelki daje nam cos60 stopni, z wzorow redukcyjnych w takim razie 120stopni, dla 60stopni = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}[rad]}\), dla 120stopni=\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) w zadaniu wykorzystuje wartość dla tych 60stopni? dlaczego nie biorę w takim razie tej drugiej wartosci \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) ? bo w koncu w pierwszym przykladzie tez nie biorę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) tylko \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{4}}\) ?
[/latex]

Z tabelki: \(\displaystyle{ cosx=\frac{1}{2}=cos60 ^{\circ}=cos\frac{\pi}{3}}\)
Ze wzorów redukcyjnych: \(\displaystyle{ cosx=cos(360^{\circ}-x^{\circ})}\) lub w mierze łukowej \(\displaystyle{ cosx=cos(2\pi-x).}\)
(Nie może być 120 stopni, bo cosinus w drugiej ćwiartce jest ujemny, a tutaj 1/2 > 0.)
Więc w tym przypadku, wybierając miarę łukową: \(\displaystyle{ cosx=\frac{1}{2}=cos\frac{\pi}{3} (x=\frac{\pi}{3} \ lub \ x=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}.}\)
To, którą z tych dwóch wartości wybierzemy zależy od konkretnego przypadku (polecenia).

[evelinaa]

napisze jeden konkretny przyklad z ksiazki.
oblicz : \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt{3}-i}}\) wlasciwie to chodzi mi o wyliczenie tego do momentu gdzie podaje wartosc cosinusa i sinusa.
Wyliczyłam moduł=2

\(\displaystyle{ \sqrt{3}-i}\)=\(\displaystyle{ 2(\frac{\sqrt{3}}{2}-{\frac{1}{2}}i)}\)=2(cos.... + isin....)
No wlasnie i ja w miejsce tych kropek wpisalabym \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}}\), a w ksiazce powstawiane jest \(\displaystyle{ \frac{11\pi}{6}}\), skad to sie wzielo?

[JankoS]

\(\displaystyle{ cos\phi =\frac{ \sqrt{3}}{2} \Rightarrow (cos\phi =cos\frac{\pi}{6} \vee cos\phi =cos\frac{11\pi}{6}) \Rightarrow (\phi=\frac{\pi}{6} \vee \phi=\frac{11\pi}{6}).}\)

\(\displaystyle{ sin\phi =-\frac{1}{2} \Rightarrow (sin\phi=-sin\frac{\pi}{6} \vee sin\phi=-sin(\pi-\frac{\pi}{6}) \Rightarrow (sin\phi=sin(-\frac{\pi}{6})=sin\frac{11\pi}{6} \vee sin\phi=-sin\frac{5\pi}{6}=sin(-\frac{5\pi}{6})=sin\frac{7\pi}{6}) \Rightarrow (\phi=\frac{11\pi}{6} \vee \phi=\frac{7\pi}{6}) .}\)

\(\displaystyle{ cos\phi>0 sin\phi}\)

[evelinaa]

a dlaczego \(\displaystyle{ sin(-\frac{\pi}{6})}\) rowne jest \(\displaystyle{ =sin\frac{11\pi}{6}}\) i \(\displaystyle{ sin(-\frac{5\pi}{6})=sin\frac{7\pi}{6})}\)? jak to policzyles?co przez co pomnozyles, co do czego dodales ?

[JankoS]

\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{6}=2\pi-\frac{\pi}{6}, \quad (-30 ^{\circ}=360 ^{\circ}-30 ^{\circ}).}\)
Powyższe równości są w tym sensie, że funkcje trygonometryczne tych kątów mają takie same wartości.
Tak samo równe są funkcje dwóch pozistałych.
Wynika ro z wzorów redukcyjnych lub (i) z okresowości tych funkcji ( \(\displaystyle{ 2\pi.}\)).

[evelinaa]

1. a dlaczego raz odejmujesz jakis kąt od 360stopni a innym razem od 180 stopni? (tak gdzies bylo wyzej w zadaniach;) )

2. \(\displaystyle{ sin(-\frac{5\pi}{6})=sin\frac{7\pi}{6})}\)
w tym przykladzie jesli zrobie to w taki sposób, ze od \(\displaystyle{ 2\pi-\frac{5\pi}{6}}\) to rzeczywiscie wychodzi mi \(\displaystyle{ sin\frac{7\pi}{6})}\), ale pozniej,zeby znowu wyszlo \(\displaystyle{ sin\frac{7\pi}{6}}\) to do 180 stopni musze dodac te 30 i nie wiem dlaczego akurat dodaje, skoro w pierwszym przypadku odejmowalam i to od 360?

[JankoS]

Liczę jak mi wygodnie.
Łatwiej (?) policzyć \(\displaystyle{ sinx=sin(-\frac{5\pi}{6}+2\pi),}\) co wynika z okresowości sinusa, niż "kombinować" ile dodać do \(\displaystyle{ \pi}\), żeby otrzymać dany kąt. W tym przypadku korzystam ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ sin(\pi x)= sinx.}\)

[evelinaa]

Ok;)

a teraz jeszcze taki przyklad:
\(\displaystyle{ 1+i}\) przedstawic w postaci tryg.
modul =\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
1+ i=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)\(\displaystyle{ (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})}\)=\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})}\)

z kolei w tym zadaniu \(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})}\) przedstawione jest jako cosinus45stopni=\(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi}{4}}\) i sinus tak samo, a nie tak jak w zadaniach powyzszych gdzie przyjelismy, że \(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{2}}{2}}\) to sinus i cosinus = \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4}}\) . w takim razie czy to jest obojetne ktora wartosc wpiszemy? ja juz glupieje od tego ;p

[JankoS]

Nie może być \(\displaystyle{ \phi=\frac{3 \pi}{4},}\) bo tutaj wartości sinusa i cosinusa są dodatnie, co jest możliwe, tylko wtedy gdy kąt należy do I ćwiartki.
Kat \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4}}\) byłby dla liczby \(\displaystyle{ -1+i}\), wktórej cosinus ma wartość ujemną, zaś sinus dodatnią.

[evelinaa]

uff dzieki za cierpliwosc