Równania i nierówności trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
zaba555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 17 paź 2007, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: zaba555 »

1. \(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{4}-2x) = cos(x+\frac{\pi}{3})}\)

2. \(\displaystyle{ sin(\frac{\pi}{6} - 2x) = cos(x + \frac{\pi}{3})}\)

3. \(\displaystyle{ tg(2x + \frac{\pi}{4}) = ctg(3x + \frac{\pi}{6})}\)

4. \(\displaystyle{ 2sin(\frac{\pi}{3} - x) qslant \sqrt{3}}\)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2008, o 12:43 przez zaba555, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ \sin =\sin \beta\iff =\beta+2k\pi =\pi-\beta+2k\pi\\\cos \gamma = \cos \delta \iff \gamma =\pm \delta+2k\pi\\\tg \varphi=\tg \omega \iff \varphi=\omega+k\pi}\)
+ parę wzorów redukcyjnych i wyjdzie
Awatar użytkownika
zaba555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 17 paź 2007, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: zaba555 »

Mógłbym prosić o rozwiązanie chociaż jednego z tych równań, bo nie mogę sobie z tym poradzić...
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ \tg (2x+\frac{\pi}{4})=\ctg (3x+\frac{\pi}{6})\\\tg (2x+\frac{\pi}{4})=\tg (\frac{\pi}{3}-3x)\\2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}-3x+k\pi\\5x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\x=\frac{\pi}{60}+\frac{k\pi}{5}}\)
adacho90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 197
Rejestracja: 24 cze 2008, o 15:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 41 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: adacho90 »

mógłbym prosić o wyjaśnienie skąd się wziął drugi wiersz rozwiązania?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: Lorek »

\(\displaystyle{ \ctg \omega=\tg (\frac{\pi}{2}-\omega)}\)
u nas \(\displaystyle{ \omega =3x+\frac{\pi}{6}}\)
Awatar użytkownika
zaba555
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 17 paź 2007, o 13:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: zaba555 »

Aight, chyba załapałem Rzucisz okiem czy dobrze?

\(\displaystyle{ 1. \ cos(\frac{\pi}{4} - 2x) = cos(x + \frac{\pi}{3}) \\
\\
\frac{\pi}{4} - 2x = x + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
3x = -\frac{\pi}{12} - 2k\pi \\
x = -\frac{\pi}{36} - \frac{2}{3}k\pi \\
\\
\\
\frac{\pi}{4} - 2x = -x - \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} - 2k\pi \\
x = \frac{7}{12}\pi - 2k\pi \\
\\
\\
2. \ sin(\frac{\pi}{6} - 2x) = cos(x + \frac{\pi}{3}) \\
sin(\frac{\pi}{6} - 2x) = sin(\frac{\pi}{6} - x) \\
\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{\pi}{6} - x + 2k\pi \ \ \ \ \frac{\pi}{6} - 2x = \pi - \frac{\pi}{6} + x + 2k\pi \\
x = 2k\pi \ \ \ \ x = -\frac{2}{9}\pi - \frac{2}{3}k\pi}\)


A jak będzie to wyglądało w przypadku nierówności?

\(\displaystyle{ 4. \ sin(\frac{\pi}{3} - x) qslant sin\frac{\pi}{3}}\)

i co dalej?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Równania i nierówności trygonometryczne

Post autor: Lorek »

w 1. pomiędzy przypadkami też jest lub (no chyba że jest, ale niewidoczne )
a co do nierówności to \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) a potem z wykresu czy jak tam chcesz i wychodzi
\(\displaystyle{ (\frac{\pi}{3}-x)\in \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} [\frac{\pi}{3}+2k\pi;\frac{2\pi}{3}+2k\pi]\iff x\in \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[-\frac{\pi}{3}+2k\pi;2k\pi]}\)
ODPOWIEDZ