równanie trygonometryczne

[marek12]

rozwiąż
\(\displaystyle{ {cos}^{2}x+{cos}^{2}2x+{cos}^{2}3x+{cos}^{2}4x=2}\)

[Tristan]

Wpierw drobne przekształcenie:
\(\displaystyle{ cos^2 x +cos^2 2x + cos^2 3x+ cos^2 4x=2 \\
cos^2 x + cos^2 2x = 1- cos^2 3x + 1 - cos^2 4x \\
cos^2 x + cos^2 2x= sin^2 3x + sin^2 4x}\)
Teraz rozpisanie:
\(\displaystyle{ sin^2 3x= sin^2 (2x+x)=( sin 2x cos x + cos 2x sin x)^2= sin^2 2x cos^2 x + 2 sin x cos x sin 2x cos 2x + cos^2 2x sin^2 x = sin^2 2x cos^2 x + sin^2 2x cos 2x + cos^2 2x sin^2 x \\ sin^2 4x= (2 sin 2 x cos 2x)^2 = 4 sin^2 2x cos^2 2x}\)
Podstawiamy i grupujemy:
\(\displaystyle{ cos^2 x + cos^2 2x = sin^2 2x cos^2 x + sin^ 2x cos 2x + cos^2 2x sin^2 x + 4 sin^2 2x cos^2 2x \\ cos^2 x ( 1- sin^2 2x) + cos^2 2x( 1- sin^2 x) = sin^2 2x cos^2 2x + 4 sin^2 2x cos^2 2x \\ cos^2 x cos^2 2x + cos^2 2x cos^2 x=sin^2 2x cos^2 2x + 4 sin^2 2x cos^2 2x \\ 2 cos^2 x sin^2 2x = sin^2 2x cos 2x ( 1+ 4 cos 2x) \\ 2 cos^2 x cos^2 2x= 4 sin^2 x cos^2 x cos 2x ( 1+ 4 cos 2x) \\ cos^2 =0 cos 2x=0 cos 2x=2 sin^2 x (1+ cos 2x)}\)
Pierwsze dwa równania zostawiam, zajmuję się trzecim.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ sin^2 x= \frac{1}{2} (1 - cos 2x)}\) i podstawiając mamy:
\(\displaystyle{ cos 2x = 2 \frac{1}{2} (1 - cos 2x)( 1 + cos 2x) \\ cos 2x = (1 - cos^2 2x) \\ cos^2 2x +cos 2x -1=0}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ cos 2x= t, t }\) i otrzymujemy tylko jedno rozwiązanie spełniające założenie, tj. \(\displaystyle{ cos 2x= \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2}}\). Nie wiem, może ja coś źle zrobiłem, a może tak to powinno wyjść.

[schmude]

To ja robię tak

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} ((2cos^2 x-1) + (2cos^2 2x-1) + (2cos^2 3x -1) + (2cos^2 4x -1))=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (cos2x + cos4x + cos6x + cos8x)=0}\)
\(\displaystyle{ cos3x cosx+cos7x cosx=0}\)
\(\displaystyle{ 2cosx cos2x cos5x=0}\)

Stąd już łatwo wyliczyć x