Równanie z n'em

Prog · Post autor: **Prog** » 21 lis 2005, o 18:05

\(\displaystyle{ sin^{n}x+cos^{n}x=1\\}\)

Jak to rozwiązać ? ? ?

Comma · Post autor: **Comma** » 21 lis 2005, o 18:11

Słyszałeś kiedyś o jedynce trygonometrycznej? :>

Prog · Post autor: **Prog** » 21 lis 2005, o 18:31

Słyszałem, a słyszałem, tylko, że tam masz cos i sin w potędze n, a nie w potędze 2 więc jednynka może być tylko częścią rozwiązania bo tu jak widzisz chyba nie do końca może być to ostateczna odpowiedź.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 21 lis 2005, o 18:31

A w przypadku n=1, dajmy na to, ta jedynka nam jakoś specjalnie ratuje skórę?

Prog · Post autor: **Prog** » 21 lis 2005, o 18:52

Właśnie o to chodzi, że jedynka jest szczególnym przypadkiem tego równania.

Comma · Post autor: **Comma** » 21 lis 2005, o 18:58

No ok, ale co chcesz z tym zrobić? Znaleźć x, dla którego to równanie jest zawsze spełnione, niezależnie od n?

Prog · Post autor: **Prog** » 21 lis 2005, o 19:08

Tak, o to tutaj chodzi a nie dla jakiego n jest to równanie spełnione. Po prostu jest polecenie rozwiąż równanie.

Comma · Post autor: **Comma** » 21 lis 2005, o 19:28

Wstępnie: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+2k\pi}\) i \(\displaystyle{ 2k\pi}\). Ale to tylko wstępnie, jeszcze pomyślę ;]
O tyle, o ile z parzystym n sprawa jest prosta, to nie jestem pewna czy czegoś nie pominęłam dla n nieparzystego.

Prog · Post autor: **Prog** » 21 lis 2005, o 19:44

Dzięki, a liczyłaś to na "palcach", czy masz jakąś metodę ? ? ?

Comma · Post autor: **Comma** » 21 lis 2005, o 19:55

Dla parzystego n korzystasz ze wzoru skróconego mnożenia, dla 2-ki wiadomo, dla 4-ki:
\(\displaystyle{ sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x}\) i przyrównując do jedynki oczywistym jest, że sinx lub cosx musi być równy 0. Dla wyższych potęg jest podobnie.
Mając to na uwadze rozpatrywałam już tylko \(\displaystyle{ x=k\cdot \frac{\pi}{2}}\) dla n nieparzystych. I szczerze mówiac tutaj juz bardziej "na palcach"

Jeżeli źle myslę, poprawcie mnie proszę