Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie :
\(\displaystyle{ sin ^{4} x-cos ^{4} x=6m-cos ^{2} 2x}\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Równanie z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 9 wrz 2008, o 17:43
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 62 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 16 wrz 2008, o 09:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: B...
- Pomógł: 1 raz
Równanie z parametrem
\(\displaystyle{ \sin^{4} x - \cos ^{4}x = 6m - \cos ^{2}2x \\
(\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 6m - \cos ^{2}2x\\
\cos 2x (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x + \cos 2x) - 6m = 0\\
\cos 2x (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x ) - 6m = 0\\
\cos 2x (\cos 2x + 1) - 6m = 0\\
\cos ^{2} 2x + \cos 2x - 6m = 0\\
\cos 2x = t\\\\
t ^{2} + t - 6m = 0\\
\Delta = 1 + 24m\\
\Delta qslant 0\\
1 + 24m qslant 0\\
m qslant - \frac{1}{24} \\\\
\\
t qslant 1\\
\frac{-1 + \sqrt{1+24m} }{2} qslant 1}\)
po rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ m qslant \frac{1}{3} \\
czyli \\
m qslant - \frac{1}{24} m qslant \frac{1}{3} \\}\)
(\sin ^{2} x - \cos ^{2} x)(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 6m - \cos ^{2}2x\\
\cos 2x (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x + \cos 2x) - 6m = 0\\
\cos 2x (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x + \cos ^{2} x - \sin ^{2} x ) - 6m = 0\\
\cos 2x (\cos 2x + 1) - 6m = 0\\
\cos ^{2} 2x + \cos 2x - 6m = 0\\
\cos 2x = t\\\\
t ^{2} + t - 6m = 0\\
\Delta = 1 + 24m\\
\Delta qslant 0\\
1 + 24m qslant 0\\
m qslant - \frac{1}{24} \\\\
\\
t qslant 1\\
\frac{-1 + \sqrt{1+24m} }{2} qslant 1}\)
po rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ m qslant \frac{1}{3} \\
czyli \\
m qslant - \frac{1}{24} m qslant \frac{1}{3} \\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 29 sty 2007, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 17 razy
Równanie z parametrem
a jeśli by oznaczyć jako \(\displaystyle{ f(t)=t^2-t-6m}\) i mieć warunki takie jak \(\displaystyle{ \begin{cases} f(1) qslant 0 \\ f(-1) qslant 0 \\ \Delta qslant 0 \end{cases}}\)
[ Dodano: 4 Listopada 2008, 18:05 ]
dobrze by to było?
[ Dodano: 4 Listopada 2008, 18:05 ]
dobrze by to było?