zbiór wartości funkcji

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
prue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 15 maja 2008, o 21:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bieszczady

zbiór wartości funkcji

Post autor: prue »

\(\displaystyle{ y=\cos ^{2} 2x-\cos2x-2}\)



jeśli za cos2x wstawię sobie t, to po przeliczeniu wychodzi mi że najmniejsza wartośc wynosi \(\displaystyle{ \frac{-9}{4}}\).a jak obliczyć tę najwiekszą wartość?
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

zbiór wartości funkcji

Post autor: bedbet »

Pamiętaj, że robiąc kiedykolwiek, jakiekolwiek podstawienie, zawsze należy określić przedział zmienności nowej zmiennej!
prue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 15 maja 2008, o 21:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bieszczady

zbiór wartości funkcji

Post autor: prue »

chyba za bardzo nie rozumiem.a można w ogóle inaczej rozwiązać to równanie?jak tak to proszę o pomoc.
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

zbiór wartości funkcji

Post autor: bedbet »

Robimy podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos 2x \ , \ -1\leqslant t\leqslant 1}\). Następnie badamy najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^2-t-2}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-1;1]}\). Stąd \(\displaystyle{ t=0}\) i \(\displaystyle{ t=-\frac{9}{4}}\) są odpowiednio największą i najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ y=\cos^22x-\cos 2x-2}\). Można również bez podstawienia zbadać dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie ma niezerowe \(\displaystyle{ y=m}\) rozwiązania, ale dalej i tak przyda się podstawienie (takie samo). Bez takiego podstawienia również da się to rozwiązać, ale nie polecam
SeaXgasT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 7 cze 2008, o 15:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: okolice TL
Podziękował: 1 raz

zbiór wartości funkcji

Post autor: SeaXgasT »

A ja mam jeszcze pytanie: jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji takiej oto funkcji:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{tg^{2}x + 2 }}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{1}{cos^{2}x -2cos x - 8 }}\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

zbiór wartości funkcji

Post autor: bedbet »

\(\displaystyle{ y=\frac{1}{\tg^2 x+2} \ , \ \tg x=t \ , \ t\in\mathbb{R} \\
\\
\frac{1}{t^2 x+2}=m\iff mt^2+2m-1=0}\)


Gdy \(\displaystyle{ m=0}\) mamy \(\displaystyle{ -1=0}\), zatem musi być \(\displaystyle{ m\neq 0}\). Dalej mamy:

\(\displaystyle{ mt^2=1-2m \\
\\
t^2=\frac{1-2m}{m} \\
\\
t_1=-\sqrt{\frac{1-2m}{m}} \ \cup \ t^2=\sqrt{\frac{1-2m}{m}}}\)


Więc aby istniały faktycznie rozwiązania równania \(\displaystyle{ \frac{1}{t^2+2}=m}\) musi być spełniony warunek:

\(\displaystyle{ \frac{1-2m}{m}\geqslant 0\iff 0\leqslant m\leqslant\frac{1}{2}}\), ale \(\displaystyle{ m\neq 0\Rightarrow m\in(0,\frac{1}{2}>}\). Zatem \(\displaystyle{ D^{-1}_f= \{ y \ : \ y\in (0,\frac{1}{2}> \}}\).

Drugi przykład spróbuj podobnie.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

zbiór wartości funkcji

Post autor: Lorek »

Aleś to skomplikował.
\(\displaystyle{ \infty > \tg^2x+2\ge 2\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \frac{1}{\tg^2 x+2}>0}\)
ODPOWIEDZ