problem z równaniem

[stomasz]

mam do rozwiązania takie równanie tylko nie jestem pewny odpowiedzi, proszę o pomoc

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x=\frac{3}{2}}\)

i teraz powiedzcie mi czy w rozwiązaniu powinno wyjść: \(\displaystyle{ sinx= \frac{\pi}{6}+k\pi}\) czy \(\displaystyle{ sinx= \frac{\pi}{6}+2k\pi}\) ?

okres sinusa wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\) więc chyba ta druga odpowiedź jest prawidłowa no nie?

z góry dziękuję za pomoc !!

[QuusAmo]

Generalnie to ani jedna ani druga odpowiedź nie jest poprawna (powinno być \(\displaystyle{ x=...}\) a nie \(\displaystyle{ \sin x = ...}\))
A tak od początku to mamy :
\(\displaystyle{ \cos ^2 x = \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+k\pi x = -\frac{\pi}{6}+k\pi}\)

[stomasz]

no fakt, powinno być x zamiast sinx..

a możesz mi wyjaśnić dlaczego \(\displaystyle{ +k\pi}\) a nie \(\displaystyle{ +2k\pi}\) ?

[wb]

\(\displaystyle{ 2cos^{2}x=\frac{3}{2} \ \ \ /:2 \\ cos^2x- \frac{3}{4}=0 \\ (cosx- \frac{\sqrt3}{2} )(cosx+ \frac{\sqrt3}{2} )=0 \\ cosx= \frac{\sqrt3}{2} cosx=- \frac{\sqrt3}{2} \\ x= \frac{\pi}{6}+2k\pi x= (\pi- \frac{\pi}{6})+2k\pi \\ x= \frac{\pi}{6}+2k\pi x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

[QuusAmo]

Narysuj sobie wykres funkcji cosinus i zobacz dla jakich argumentów przyjmuje wartości \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Będzie to \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) \(\displaystyle{ x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi}\) \(\displaystyle{ x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi}\) \(\displaystyle{ x=\frac{11}{6}\pi+2k\pi}\).
Ale zauważ że gdyby wziąść \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi=\frac{\pi}{6}+\pi+2k\pi}\) to one w sumie pokrywają całość wzoru \(\displaystyle{ x=\frac{pi}{6}+k\pi}\) tak samo w drugim przypadku. Zatem zamiast pisać 4 przypadki, ograniczamy się do 2, ale pokrywających w całości tamte 4.

[stomasz]

czyli jak powinna brzmieć pełna odpowiedź ?

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} +k\pi x= -\frac{\pi}{6} +k\pi}\) ??

czy

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} +k\pi x= -\frac{\pi}{6} +k\pi x= \frac{5}{6}\pi +k\pi x= -\frac{5}{6}\pi +k\pi}\) ??

[QuusAmo]

Widzisz, bajer tkwi w tym że obie odpowiedzi które podałeś są takie same tyle że ta druga jest niepotrzebnym podwojeniem. Rozpisz sobie kilka wyrazów z pierwszej odpowiedzi (dla różnych k całkowitych), a potem rozpisz kilka wyrazów z tej drugiej, i zobacz że się pokrywają.

[stomasz]

no tak ! teraz już kumam ;D dzięki wielkie