Sprawdzenie tożsamości.

[Outta Control]

\(\displaystyle{ 1-2cos^{2}x= \frac{1-ctg^{2}x}{1+ctg^{2}x}}\)
tutaj to wogole nie wiem nawet jak zacząć:> z tłumaczeniem da się?:>

[QuusAmo]

Zajmijmy się prawą stroną, bo lewa jest w miarę przyjemna.
\(\displaystyle{ \frac{1-\ctg^2 x}{1+ \ctg^2 x}=\frac{1-\frac{\cos ^2x}{\sin^2 x}}{1+\frac{\cos^2 x}{\sin ^2 x}}=\frac{ \frac{\sin^2 x -\cos ^2 x}{\sin ^2 x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x }{\sin ^2 x}}}\)
Tutaj zamieniłem cotangensa na \(\displaystyle{ \frac{\cos x }{ \sin x}}\) - z definicji.
Następnie wiadomo dodanie ułamków itd. Wiadomo że \(\displaystyle{ \sin^2 x + \cos^2 x =1}\) zatem mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{\sin ^2 x - \cos ^2 x}{\sin ^2 x}}{\frac{1}{\sin^2 x}}= \frac{\sin ^2 x - \cos ^2 x}{\sin ^2 x} \frac{ \sin^2 x }{1} = \sin ^2 x - \cos ^2 x}\)
Ale \(\displaystyle{ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x}\)
Zatem mamy dalej \(\displaystyle{ \sin^2 x - \cos ^2 x = 1- 2 \cos ^2 x}\)
Więc lewa strona równa się prawej, czyli jest to tożsamość.

[Outta Control]

Wielkie dzięki:) jak zwykle cos namotałem:)