Rozwiązałem zadanie, jednak po sprawdzeniu okazuje się że wynik się nie zgadza.
Oto ono:
\(\displaystyle{ sinx + \sqrt{3}cosx=1}\)
\(\displaystyle{ sin x=1- \sqrt{3} cosx}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2} x+cos ^{2}x=1}\)
\(\displaystyle{ \left(1- \sqrt{3}cos x \right) ^{2}+cos ^{2} x=1}\)
\(\displaystyle{ 1+3cos ^{2}x-2 \sqrt{3}cos x +cos ^{2}x-1=0}\)
\(\displaystyle{ 4cos ^{2} x-2 \sqrt{3}cos x=0}\)
\(\displaystyle{ cos x ft(4cos x-2 \sqrt{3} \right)=0}\)
\(\displaystyle{ cos x =0 4cos x -2 \sqrt{3}=0}\)
\(\displaystyle{ cos x =0 cos x = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\Pi}{2}+k\Pi x= \frac{\Pi}{6}+2k\Pi x=- \frac{\Pi}{6}+2k\Pi}\)
Ma wyjść natomiast:
\(\displaystyle{ x=- \frac{\Pi}{6}+2k\Pi x= \frac{\Pi}{2}+2k\Pi}\)
Proszę o pomoc w znalezieniu błędu
Gdzie jest błąd??
-
QuusAmo
- Użytkownik
- Posty: 168
- Rejestracja: 13 cze 2006, o 19:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dąbrova G.
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 65 razy
Gdzie jest błąd??
Błędem jest tutaj podnoszenie do kwadratu (obustronne). Można to zrobić, jednak trzeba najpierw obwarować to licznymi założeniami (że obie strony są dodatnie).
w przeciwnym wypadku możemy mieć takie równanie : \(\displaystyle{ -1=1}\) które jest z natury sprzeczne. Jednak gdy podniesiemy je do kwadratu otrzymamy : \(\displaystyle{ 1=1}\), co już jest prawdziwe. Dlatego wyszło Ci więcej rozwiązań niż powinno.
Podstaw sobie np \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi}\) (które wyszło Tobie, a nie ma podane w odpowiedziach).
Będziesz miał \(\displaystyle{ \sin \frac{3}{2} \ pi + \sqrt{3} \cos \frac{3}{2}\pi = -1+0=-1\not=1}\)
Natomiast po podniesieniu do kwadratu już Ci się zgodzi.
Co do metody rozwiązania proponuje zapisać lewą stronę jako:
\(\displaystyle{ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\left( \frac{1}{2}\sin x +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x)}\)
Potem już tylko korzystasz z odpowiedniego wzoru (powinieneś go zuważyć) i równanie jest zrobione.
w przeciwnym wypadku możemy mieć takie równanie : \(\displaystyle{ -1=1}\) które jest z natury sprzeczne. Jednak gdy podniesiemy je do kwadratu otrzymamy : \(\displaystyle{ 1=1}\), co już jest prawdziwe. Dlatego wyszło Ci więcej rozwiązań niż powinno.
Podstaw sobie np \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi}\) (które wyszło Tobie, a nie ma podane w odpowiedziach).
Będziesz miał \(\displaystyle{ \sin \frac{3}{2} \ pi + \sqrt{3} \cos \frac{3}{2}\pi = -1+0=-1\not=1}\)
Natomiast po podniesieniu do kwadratu już Ci się zgodzi.
Co do metody rozwiązania proponuje zapisać lewą stronę jako:
\(\displaystyle{ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 2\left( \frac{1}{2}\sin x +\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\left(\cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x)}\)
Potem już tylko korzystasz z odpowiedniego wzoru (powinieneś go zuważyć) i równanie jest zrobione.
-
protazy
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 15 maja 2008, o 20:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Nienacka
Gdzie jest błąd??
Ja nie podnosiłem równania wyjściowego do kwadratu, tylko podstawiłem obliczoną wartość sin x do "jedynki trygonometrycznej".
To jak konkretnie powinno wyglądać założenie w tym przypadku, bym otrzymał pożądane serie wyników??
To jak konkretnie powinno wyglądać założenie w tym przypadku, bym otrzymał pożądane serie wyników??