wykaż tożsamość

[Agniecha1818]

\(\displaystyle{ \frac{cos(45+x)}{cos(45-x) } = \frac{1}{cos2x}- \frac{1}{ctg2x}}\)

[exupery]

może w ten sposób:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos (45+x)}{ \cos(45-x)} = \frac{1}{ \cos 2x} - \tg 2x \\ \frac{ \cos (45+x)}{ \cos(45-x)} = \frac{1}{ \cos 2x} - \frac{ \sin 2x}{\cos 2x} \\ \frac{ \cos (45+x)}{ \cos(45-x)} = \frac{2 \cos^2 (45 + x)}{ \cos 2x} \\ \frac{1}{ \cos(45-x)} = \frac{2 \cos(45 +x)}{cos2x} \\ \cos 2x = 2 \cos(45-x) \sin(45-x) \\ \cos 2x = \sin 2(45-x) \\ \cos 2x = \cos 2x}\)

[Agniecha1818]

A macie inny sposób na rozwiązanie tej tożsamości ?
Bardzo proszę o pomoc, to zadanie jest mi dzisiaj bardzo potrzebne

[lukasz1804]

Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \sin 45^{o}=\cos 45^{o}}\). W zasadzie należałoby tę tożsamość rozumieć tak, że z istnienia prawej strony wynika istnienie lewej, bo wtedy \(\displaystyle{ \cos x-\sin x\neq 0}\) skoro tylko \(\displaystyle{ \cos 2x\neq 0}\).
\(\displaystyle{ \frac{\cos(45^{o}+x)}{\cos(45^{o}-x)}=\frac{\cos 45^{o}\cos x-\sin 45^{o}\sin x}{\cos 45^{o}\cos x+\sin 45^{o}\sin x}=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=\frac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=\frac{1-2\sin x\cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x}=\frac{1-\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{1}{\cos 2x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{1}{cos2x}-\frac{1}{ctg2x}}\)

[Agniecha1818]

Dziękuję za pomoc Łukaszu