równanie trygonometryczne

[jadzia1177]

Jeszcze jeden przykład, gdyby ktoś mogł mi pomóc: Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{2\pi}{x} \right) + \frac{1}{2}x^{2}=2x-3}\). Z góry dziękuję za pomoc...

[Qń]

Równoważnie:
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{2\pi}{x} = -(x-2)^2 - 2}\)
Wyrażenie po lewej stronie jest większe bądź równe \(\displaystyle{ -2}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{x}=-1}\), a to po prawej stronie jest mniejsze bądź równe \(\displaystyle{ -2}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=2}\). Obie te równości zachodzą wyłącznie dla \(\displaystyle{ x=2}\), którą to liczbę otrzymujemy jako jedyne rozwiązanie równania.

Q.

[jadzia1177]

Ale nie bardzo rozumiem skad ci sie bierze to że to jest wieksze bądz rowne -2 albo równośc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{x}=-1}\) itd...

[Qń]

No dla dowolnych iksów jest \(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{x} -1}\) oraz \(\displaystyle{ -(x-2)^2 0}\). Stąd:
\(\displaystyle{ -2 2 \cos \frac{2\pi}{x} = -(x-2)^2 -2 -2}\)
czyli wszystkie powyższe nierówności muszą być równościami, czyli \(\displaystyle{ \cos \frac{2\pi}{x} = -1}\) oraz \(\displaystyle{ -(x-2)^2-2 = -2}\), a stąd \(\displaystyle{ x=2}\).

Q.