Równanie tryg

[beatka-k16]

\(\displaystyle{ sin ^{3}x + cos ^{3}x = 1}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sin^3x=1-\cos^3x\\\sin x\cdot \sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2 x)\\\sin x(1-\cos^2 x)=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)\\\sin x(1-\cos x)(1+\cos x)=(1-\cos x)(1+\cos x+\cos^2x)}\)
i mamy jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \cos x=1}\), szukamy innych:
\(\displaystyle{ \sin x(1+\cos x)=(1+\cos x)+\cos^2 x\\\sin x(1+\cos x)-(1+\cos x)=1-\sin^2 x\\(\sin x-1)(1+\cos x)=(1-\sin x)(1+\sin x)}\)
i mamy drugie rozwiązanie \(\displaystyle{ \sin x=1}\), i zostaje
\(\displaystyle{ 1+\cos x=-(1+\sin x)\\\cos x-\sin x=-2}\)
a to już rozwiązań nie ma (spróbuj to udowodnić )