Suma pierwiastków trzeciego stopnia kwadratów sin i cos
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 24 sie 2007, o 10:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 30 razy
Suma pierwiastków trzeciego stopnia kwadratów sin i cos
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{sin ^{2}x } + \sqrt[3]{cos ^{2}x } = \sqrt[3]{4}}\)
Ostatnio zmieniony 18 paź 2008, o 13:46 przez beatka-k16, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Suma pierwiastków trzeciego stopnia kwadratów sin i cos
I metoda
Niech \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{\sin^2 x}}\), \(\displaystyle{ b= \sqrt[3]{\cos^2 x}}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ a^3+b^3=1}\) oraz \(\displaystyle{ a+b=\sqrt[3]{4}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ 4=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) = 1+3ab\sqrt[3]{4}}\), czyli \(\displaystyle{ ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\).
Oznacza to, że (z wzorów Vieta'a) \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ t^2-t\sqrt[3]{4}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = 0}\) czyli \(\displaystyle{ \left(t- \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \right)^2 = 0}\),
a stąd \(\displaystyle{ a=b=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \sin^2x = \cos^2x = \frac{1}{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ |\sin x |= |\cos x |= \frac{\sqrt{2}}{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}}\)
II metoda
Z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{s^3+t^3}{2}} \ge \frac{s+t}{2}}\), w której równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ s=t}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{\sin^2 x}+\sqrt[3]{\cos^2 x} \le 2 \sqrt[3]{\frac{\sin^2 + \cos^2 x}{2}}= 2 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}}\)
co oznacza, że musi być \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sin^2 x}= \sqrt[3]{\cos^2 x}}\), a stąd \(\displaystyle{ |\sin x | = |\cos x | = \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i wynik ten sam.
Q.
Niech \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{\sin^2 x}}\), \(\displaystyle{ b= \sqrt[3]{\cos^2 x}}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ a^3+b^3=1}\) oraz \(\displaystyle{ a+b=\sqrt[3]{4}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ 4=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) = 1+3ab\sqrt[3]{4}}\), czyli \(\displaystyle{ ab=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}\).
Oznacza to, że (z wzorów Vieta'a) \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami równania:
\(\displaystyle{ t^2-t\sqrt[3]{4}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = 0}\) czyli \(\displaystyle{ \left(t- \frac{\sqrt[3]{4}}{2} \right)^2 = 0}\),
a stąd \(\displaystyle{ a=b=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \sin^2x = \cos^2x = \frac{1}{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ |\sin x |= |\cos x |= \frac{\sqrt{2}}{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}}\)
II metoda
Z nierówności \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{s^3+t^3}{2}} \ge \frac{s+t}{2}}\), w której równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ s=t}\), dostajemy:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{\sin^2 x}+\sqrt[3]{\cos^2 x} \le 2 \sqrt[3]{\frac{\sin^2 + \cos^2 x}{2}}= 2 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}}\)
co oznacza, że musi być \(\displaystyle{ \sqrt[3]{\sin^2 x}= \sqrt[3]{\cos^2 x}}\), a stąd \(\displaystyle{ |\sin x | = |\cos x | = \frac{\sqrt{2}}{2}}\) i wynik ten sam.
Q.