Równanie cyklometryczne

[Viathor]

\(\displaystyle{ \arcsin x+\arcsin 2x= \frac{\pi}{2}}\)

[meninio]

Załóżmy, że dla \(\displaystyle{ y,z \langle -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \rangle}\) mamy:

\(\displaystyle{ \sin y =x y=\arcsin x \\ \\ \sin z=2x z=\arcsin 2x}\)

Dodając stronami mamy:

\(\displaystyle{ y+z=\arcsin x+\arcsin 2x=\frac{\pi}{2} z=\frac{\pi}{2}-y}\)

Wstawiamy do założenia i mamy;

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin y =x \\ \sin ft( \frac{\pi}{2}-y \right) =2x\end{cases} \begin{cases} \sin y =x \\ \cos y =2x\end{cases}}\)

Obustronnie podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami:

\(\displaystyle{ \sin^2y+\cos^2y=x^2+4x^2 \\ \\ 5x^2=1 \\ \\ x=\frac{1}{\sqrt{5}} x=-\frac{1}{\sqrt{5}}}\)

Ostatecznie rozwiązaniem jest liczba: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5}}}\), gdyż drugie rozwiązanie nie spełnia założeń.

[JankoS]

\(\displaystyle{ \arcsin x+\arcsin 2x= \frac{\pi}{2}}\)

Równanie jest proste, więc można pierwiastki odgadnąć
\(\displaystyle{ \arcsin \frac{\pi}{6}+\arcsin \left( 2\frac{\pi}{6} \right) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.}\)
Rozwiązując "porządnie" można pokazać, że jest rozwiązanie jedyne.
Tylko jak się to ma do poprzedniego rozwiązania?.

[Qń]

Równanie jest proste, więc można pierwiastki odgadnąć
\(\displaystyle{ \arcsin \frac{\pi}{6}+\arcsin \left( 2\frac{\pi}{6} \right) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.}\)
Rozwiązując "porządnie" można pokazać, że jest rozwiązanie jedyne.
Tylko jak się to ma do poprzedniego rozwiązania?.

Ma się tak, że w przeciwieństwie do poprzedniego jest niepoprawne, bo funkcja arcussinus nie jest funkcją tożsamościową.

Q.

[meninio]

\(\displaystyle{ \arcsin \frac{\pi}{6}+\arcsin \left( 2\frac{\pi}{6} \right) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.}\)

Kompletnie nie rozumiem skąd to wziąłeś...wytłumaczysz?

[JankoS]

\(\displaystyle{ \arcsin \frac{\pi}{6}+\arcsin \left( 2\frac{\pi}{6} \right) =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.}\)

Kompletnie nie rozumiem skąd to wziąłeś...wytłumaczysz?

Chciałem się przyznać "do winy' już po poście poprzedzającym post Kolegi, ale miałem trudności techniczne.
Skąd to wziąłem?
Odgadnął to Kolega Qń.
Co innego widziałem, a co innego chciałem widzieć. Pisało arcsin; chciałem widzieć arcsin(sin).
Przepraszam za zamieszanie.
Pozdrawiam.