Równanie trygonometryczne

[beatka-k16]

\(\displaystyle{ sin(x) + cos(x) = \sqrt{tg(x) + ctg(x)}

cos( \pi \sqrt{x}) = 1}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{1+log _{2} (cosx) } = 9 ^{ \frac{1}{2}+log _{3} (sinx) } + \frac{3}{4}}\)

[QuusAmo]

W pierwszym dość istotna jest dziedzina. Musi zachodzić jednocześnie \(\displaystyle{ \sin x > 0}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x > 0}\) (dlaczego to zobaczysz po przekształceniu funkcji), zatem \(\displaystyle{ x \in (2 k \pi; \frac{\pi}{2}+2 k \pi)}\)
Przekształcając równanie mamy : \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{ \tg x + \ctg x}=\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x }{\sin x}}}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{ \frac{\sin ^2 x + \cos ^2 x}{\sin x \cos x}}=\sqrt{ \frac{1}{\sin x \cos x}}}\)
Teraz widać że pod pierwiastkiem w mianowniku mamy iloczyn który musi być dodatni. Po lewej mamy sumę tych samych dwóch składników, która musi być nieujemna. Zatem ostatecznie oba składniki muszą być dodatnie.
I teraz mamy \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{\frac{1}{\sin x \cos x}}}\) Podnosimy do kwadratu
\(\displaystyle{ \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos ^2 x = \frac{1}{\sin x \cos x}}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x \cos x =\frac{1}{\sin x \cos x}}\)
Podstawiamy zmienną \(\displaystyle{ t=\sin x \cos x; t>0}\) (z założenia)
Mamy \(\displaystyle{ 1+2t=\frac{1}{t}}\)
\(\displaystyle{ 2t^2+t-1=0}\)
\(\displaystyle{ 2\left(t+1\right)\left(t-\frac{1}{2}\right)=0}\)
\(\displaystyle{ t=-1\vee t=\frac{1}{2}}\)
Mamy ostatecznie \(\displaystyle{ \sin x \cos x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = 1 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k}\)
Uwzględniając z dziedziną wychodzi nam \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi}\) (oczywiście wszędzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

[Lorek]

2. Zał \(\displaystyle{ x\geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \cos (\pi\sqrt{x})=1\\\pi\sqrt{x}=2k\pi}\)
no i tu można zauważyć, że przydałoby się założenie \(\displaystyle{ k\geqslant 0}\), alej jak się okaże to nie do końca
\(\displaystyle{ \sqrt{x}=2k\\x=4k^2,\; k\in\mathbb{Z}}\)