Tożsamości, zamienianie miar kątów, obliczanie wartości

[liquido]

Witam, trygonometria i megaarcy problemy. Pomoglibyście?

1. Oblicz wartości \(\displaystyle{ sin\alpha}\), \(\displaystyle{ tg\alpha}\), \(\displaystyle{ ctg\alpha}\), jeżeli \(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{\pi}{2};\pi)}\) i \(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{3}{5}}\)


2. Oblicz wartości \(\displaystyle{ cos\alpha}\), \(\displaystyle{ tg\alpha}\), \(\displaystyle{ ctg\alpha}\), jeżeli \(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{3\pi}{2};2\pi)}\) i \(\displaystyle{ sin\alpha=-\frac{2}{3}}\)


3. a) Zamień miarę kąta w stopniach na miarę w radianach oraz miarę w radianach na miarę w stopniach, jeżeli: \(\displaystyle{ \alpha=-1740 stopni}\), \(\displaystyle{ \beta=-\frac{14}{3}\pi rad}\)
b) Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kątów z punktu a).


4. a) Zamień miarę kąta w stopniach na miarę w radianach oraz miarę w radianach na miarę w stopniach, jeżeli: \(\displaystyle{ \alpha=-2010 stopni}\), \(\displaystyle{ \beta=-\frac{26}{3}\pi rad}\)
b) Oblicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kątów z punktu a).


5. Sprawdź tożsamość: \(\displaystyle{ (\sin^{2}\alpha-1)*(ctg^{2}\alpha+1)=-cos\alpha : \frac{sin^2\alpha}{cos\alpha}}\)


6. Sprawdź tożsamość: \(\displaystyle{ (cos^{2}\alpha-1)*(tg^{2}\alpha+1)=-sin\alpha : \frac{cos^{2}\alpha}{sin\alpha}}\)


Za wszelką okazaną pomoc wielkie dzięki Za każdą okazaną pomoc wciskam "plusika" - oczywiście to nic wielkiego, ale jakby komuś zależało na tym, to tak z góry nadmieniam

[anibod]

zadanie 2
\(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac {2}{3}}\)
Korzystasz z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (\frac{3\pi}{2},2\pi)}\) - IV ćwiartka zatem tylko \(\displaystyle{ \cos\alpha>0}\)
pozostałe funkcje są ujemne
czyli
\(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha=1-(-\frac{2}{3})^{2} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \Rightarrow \ctg\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{1}{\ctg\alpha} \Rightarrow \tg\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\)

[ Dodano: 8 Października 2008, 16:56 ]
Zad 1
w podobny sposób tylko \(\displaystyle{ \alpha \in (\frac{\pi}{2},\pi)}\) zatem tylko \(\displaystyle{ \sin\alpha>0}\) pozostałe funkcje są ujemne

[liquido]

Dzięki wielkie. Z pozostałymi jakoś po wielkich bólach sobie poradziłem i w sumie są nieaktualne. Natomiast mam 3 ostatnie, z którymi kompletnie nie mogę dać rady

Sprawdź tożsamości:

1. \(\displaystyle{ \frac{sinx}{1-cosx}=\frac{1+cosx}{sinx}}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{sin^{3}x+sin3x}{cos^{3}x-cos3x}=ctgx}\)

3. \(\displaystyle{ \frac{sin2x}{1+cos2x}*\frac{cosx}{1+cosx}=tg\frac{\pi}{2}}\)

Byłby ktoś w stanie pomóc? Będę wielce zobowiązany.

[*Kasia]

\(\displaystyle{ \frac{\sin x }{1-\cos x}=\frac{\sin^2x}{\sin x(1-\cos x)}=\frac{1-\cos^2x}{\sin x(1-\cos x)}=...}\) (w liczniku wzór skróconego mnożenia, skracasz.

[anibod]

2)
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{3}x+\sin{3x}}{\cos^{3}x-\cos{3x}}=\ctg{x}}\)
\(\displaystyle{ \sin{3x}=\sin{x}(3-4\sin^{2}x) \ , \ \cos{3x}=\cos{x}(4\cos^{2}x-3)}\)

\(\displaystyle{ L=\frac{\sin^{3}x+\sin{3x}}{\cos^{3}x-\cos{3x}}=\frac{\sin^{3}x+\sin{x}(3-4\sin^{2}x)}{\cos^{3}x-\cos{x}(4\cos^{2}x-3)}= \frac{\sin{x}(\sin^{2}x+3-4\sin^{2}x)}{\cos{x}(\cos^{2}x-4\cos^{2}x+3)}=\frac{\sin{x}(3-3\sin^{2}x)}{\cos{x}(3-3\cos^{2}x)}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\ctg{x}}\)
L=P