rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ tgx + \frac{cosx}{1 + sinx} +2 = 0}\)
rozwiąż równanie
-
QuusAmo
- Użytkownik
- Posty: 168
- Rejestracja: 13 cze 2006, o 19:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dąbrova G.
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 65 razy
rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \tg x + \frac{\cos x}{1+\sin x}+2=0}\)
Założenia:
\(\displaystyle{ \cos x 0 x \frac{\pi}{2}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x -1 x \pi + 2k\pi}\)
Pomnóżmy przez \(\displaystyle{ \cos x(1+\sin x)}\) z założenia różne od 0
\(\displaystyle{ \sin x(1+\sin x)+\cos^2x+2\cos x(1+\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \sin^2 x+\cos^2 x+2\cos x+2\sin x\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x(1+2\cos x)+2\cos x+1=0}\)
\(\displaystyle{ (1+2\cos x)(1+\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=-\frac{1}{2} \sin x =-1}\) - nie zgodne z założeniami
\(\displaystyle{ \cos x = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\vee x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi}\)
Założenia:
\(\displaystyle{ \cos x 0 x \frac{\pi}{2}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x -1 x \pi + 2k\pi}\)
Pomnóżmy przez \(\displaystyle{ \cos x(1+\sin x)}\) z założenia różne od 0
\(\displaystyle{ \sin x(1+\sin x)+\cos^2x+2\cos x(1+\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x + \sin^2 x+\cos^2 x+2\cos x+2\sin x\cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x(1+2\cos x)+2\cos x+1=0}\)
\(\displaystyle{ (1+2\cos x)(1+\sin x)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=-\frac{1}{2} \sin x =-1}\) - nie zgodne z założeniami
\(\displaystyle{ \cos x = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi\vee x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi}\)
Ostatnio zmieniony 2 paź 2008, o 11:03 przez QuusAmo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \tg x+\frac{\cos x}{1+\sin x}+2=0}\)
założenie: \(\displaystyle{ \begin{cases} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ 1+\sin x\neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ x\neq \frac{3}{2}\pi+2k\pi \end{cases}\iff x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in C}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}+2=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x(1+\sin x)+\cos^{2}x+2\cos x(1+\sin x)}{\cos x(1+\sin x)}=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \sin x+\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\cos x+2\cos x \sin x=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \sin x+1+2\cos x+2\cos x \sin x=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 2\cos x(1+\sin x)+(1+\sin x)=0 \iff (1+\sin x)(2\cos x+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 1+\sin x=0 2\cos x+1=0 \iff \sin x=-1 \cos x=-\frac{1}{2} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C}\)- nie spełnia założenia
Zatem ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)
Odp.: \(\displaystyle{ x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)
założenie: \(\displaystyle{ \begin{cases} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ 1+\sin x\neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ x\neq \frac{3}{2}\pi+2k\pi \end{cases}\iff x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in C}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}+2=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x(1+\sin x)+\cos^{2}x+2\cos x(1+\sin x)}{\cos x(1+\sin x)}=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \sin x+\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\cos x+2\cos x \sin x=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff \sin x+1+2\cos x+2\cos x \sin x=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 2\cos x(1+\sin x)+(1+\sin x)=0 \iff (1+\sin x)(2\cos x+1)=0 \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff 1+\sin x=0 2\cos x+1=0 \iff \sin x=-1 \cos x=-\frac{1}{2} \iff}\)
\(\displaystyle{ \iff x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in C}\)- nie spełnia założenia
Zatem ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)
Odp.: \(\displaystyle{ x=-\frac{4\pi}{3}+2k\pi x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k\in C}\)