Witam, proszę o pomoc z następującym zadaniem:
Jaka jest najmniejsza i największa wartość funkcji:
\(\displaystyle{ sin^{2}x - sinx cosx}\)
Z pochodnymi udało mi się dojść do rozwiązania x, ale wartości dokładnej nie umiem wyrazić (\(\displaystyle{ x = 22.5^{\circ}}\) ). Wydaje mi się że to da się wyrazić jako funkcję sinusa lub cosinusa, ale nie mogę do tego dojść. Z góry dzięki za pomoc.
Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych
frej
Minimum i maksimum funkcji
-
Bober02
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 29 paź 2006, o 13:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
Minimum i maksimum funkcji
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2008, o 20:01 przez Bober02, łącznie zmieniany 1 raz.
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Minimum i maksimum funkcji
\(\displaystyle{ f'(x)=2\sin x \cos x - \cos^2x + \sin^2x=\sin 2x-\cos 2x}\)
Ekstrema:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \sin 2x-\cos 2x=0 \\ \\ \sin 2x-\sin ft(\frac{\pi}{2}-2x \right) =0 \\ \\ \sin 2x = \sin ft(\frac{\pi}{2}-2x \right) \\ \\ 2x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi \\ \\ 4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\)
I teraz trzeba rozstrzygnąc dla jakich \(\displaystyle{ k}\) są maxima, a dla jakich minima. W tym celu trzeba policzyć drugą pochodną i sprawdzić kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.
\(\displaystyle{ f''(x)=2(\sin2x +\cos2x)}\)
I teraz wstawiamy x i badamy jaki znak ma druga pochodną w punkcie w, którym występuje ekstremum:
\(\displaystyle{ f'' ft(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} \right) =2 ft[ \sin ft(\frac{\pi}{4}+k\pi \right) + \cos ft( \frac{\pi}{4}+k\pi \right) \right] =2 ft( \frac{\sqrt{2}}{2}*0+\frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k + \frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k -\frac{\sqrt{2}}{2}*0\right) = \\ \\ = 2\sqrt{2}*(-1)^k}\)
Czyli druga pochodna jest dodatnia dla parzystych k i ujemna dla k nieparzystych.
Czyli podsumowując. Funkcja w punkcie: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\) osiąga minimum jeśli k jest parzyste, a dla k nieparzystych osiąga maksimum.
Ekstrema:
\(\displaystyle{ f'(x)=0 \sin 2x-\cos 2x=0 \\ \\ \sin 2x-\sin ft(\frac{\pi}{2}-2x \right) =0 \\ \\ \sin 2x = \sin ft(\frac{\pi}{2}-2x \right) \\ \\ 2x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi \\ \\ 4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\)
I teraz trzeba rozstrzygnąc dla jakich \(\displaystyle{ k}\) są maxima, a dla jakich minima. W tym celu trzeba policzyć drugą pochodną i sprawdzić kiedy jest dodatnia, a kiedy ujemna.
\(\displaystyle{ f''(x)=2(\sin2x +\cos2x)}\)
I teraz wstawiamy x i badamy jaki znak ma druga pochodną w punkcie w, którym występuje ekstremum:
\(\displaystyle{ f'' ft(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2} \right) =2 ft[ \sin ft(\frac{\pi}{4}+k\pi \right) + \cos ft( \frac{\pi}{4}+k\pi \right) \right] =2 ft( \frac{\sqrt{2}}{2}*0+\frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k + \frac{\sqrt{2}}{2}*(-1)^k -\frac{\sqrt{2}}{2}*0\right) = \\ \\ = 2\sqrt{2}*(-1)^k}\)
Czyli druga pochodna jest dodatnia dla parzystych k i ujemna dla k nieparzystych.
Czyli podsumowując. Funkcja w punkcie: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}}\) osiąga minimum jeśli k jest parzyste, a dla k nieparzystych osiąga maksimum.