dowod funkcja sin i cos

[garfield84]

mam prosbe czy ktos mogły udowodnic ze funkcje okreslone wzorami:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \{\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}dla x\neq\pi(2k+1) \\ 0 dla x=\pi(2k+1)}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=\{ \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}dla x\neq\pi(2k+1)\\-1}\)dla\(\displaystyle{ x\neq\pi(2k+1)}\)
są:
1) ciagłe== to wynika z ciagłości funkcji tg Smile
2) okresowe o okresie najmniejszym dodatnim 2pi =wynika z funkcji tg:) poniewaz \(\displaystyle{ tg\frac{x+2\pi}{2}=tgx\2}\)
3)nie wiem o co im chodzi: cytat: 'dla fukkcji sin i cos różniczkowalność w punktach \(\displaystyle{ x\neq\pi(2k+1)}\)
jest konsekwencją różniczkowalności złożenia unkcji różnicvzkowalnych

bardzo prosze o odpowiedź....

[Lady Tilly]

Nie wiem czy Ci o to chodzi ale może dojdziesz do tego jeśli podam Ci jak dochodzisię do pierwszego wzory;
\(\displaystyle{ sin{\alpha}=sin2\frac{\alpha}{2}=2{\cdot}sin{\frac{\alpha}{2}}{\cdot}cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{2sin{\frac{\alpha}{2}}{\cdot}cos{{\frac{\alpha}{2}}{}}}1=(2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}):(cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}+sin^{2}{\frac{\alpha}{2})=(\frac{2sin{\frac{\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}}{cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}})}\):\(\displaystyle{ (\frac{cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{cos^{2}\frac{\alpha}{2}}+\frac{sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{cos^{2}{\frac{\alpha}{2}}})=\frac{2tg{\frac{\alpha}{2}}}{1+tg^{2}{\frac{\alpha}{2}}}\)

[Kaas van Lo]

jest takie twierdzenie o złożeniu funkcji różniczkowalnych (Analiza Matematyczna G.M. Fichtenholtz tom 1)