Mam takie zadanie:
Wykaż, że \(\displaystyle{ cos(\frac{\Pi}{5})* cos(\frac{2\Pi}{5}) = \frac{1}{4}}\)
Z czego można tu skorzystać ??
Tożsamosci tryg. - dowod \cos(pi/5)*\cos(2pi/5) = 1/4
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Tożsamosci tryg. - dowod \cos(pi/5)*\cos(2pi/5) = 1/4
Będę korzystał z tożsamości \(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x\cos x}\).
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sin\alpha = \sin(\pi - )}\), więc \(\displaystyle{ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin\frac{\pi}{5}}\), czyli reasumując:
\(\displaystyle{ \ldots= \frac{\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{1}{4}}\), co kończy dowód.
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \sin\alpha = \sin(\pi - )}\), więc \(\displaystyle{ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin\frac{\pi}{5}}\), czyli reasumując:
\(\displaystyle{ \ldots= \frac{\frac{1}{4}\sin\frac{4\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{1}{4}}\), co kończy dowód.
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki