zbadaj monotoniczność i dłuższe zadanie

[keisak]

1.Zbadaj monotoniczność:
\(\displaystyle{ a_{n}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1-3n}{n+1}}\)


2.Obliczyć trzeci wyraz ciągu o wyrazach: \(\displaystyle{ 2^{x_{1}},2^{x_{2}},2^{x_{3}}}\), wiedząc że jest to ciąg geometryczny i wiedząc, że suma \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{10}=110}\) a \(\displaystyle{ x_{7}=14}\)

[JankoS]

1.Zbadaj monotoniczność:
\(\displaystyle{ a_{n}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1-3n}{n+1}}\)
2.Obliczyć trzeci wyraz ciągu o wyrazach: \(\displaystyle{ 2^{x_{1}},2^{x_{2}},2^{x_{3}}}\), wiedząc że jest to ciąg geometryczny i wiedząc, że suma \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{10}=110}\) a \(\displaystyle{ x_{7}=14}\)

\(\displaystyle{ 1. \ a _{n+1}-a_{n}= \frac{1-3(n+1)}{(n+1)+1}-\frac{1-3n}{n+1}=\frac{1-3n}{(n+2)(n+1)}=\frac{-4}{(n+2)(n+1)} N.}\)
Ciąg jest malejący.

2. Z warunków zadania wyrazy ciągu geonetrycznego są dodatnie. Z wlasności ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{x _{3}}}{2 ^{x _{2}}} = \frac{2 ^{x _{2} }} {2 ^{x _{1}}} x _{3}-x_{2}=x_2-x_{1}.}\)
Więc wykładniki tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pi erwszy wyraz = \(\displaystyle{ x _{1}.}\) Oznaczam jego różnicę literą r. Ze wzoru na sumę wyrazów i wzoru na n - ty wyraz mam układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2x _{1}+9r}{2} 10=110 \\x _{1}+6r=14\end{cases}}\).
Z powyższego wyznaczamy \(\displaystyle{ x _{1}, \ oraz \ r}\). Dalej wyznaczam trzeci wyraz tego ciągu i podnoszę do takiej potęgi 2.