tożsamości trygonometryczne

[ogre]

\(\displaystyle{ \frac{tgx(1+ctg^{2}x)}{1+tg^{2}x}=ctgx}\)

doszedlem do:

\(\displaystyle{ L= \frac{ \frac{sinx}{cosx}+ \frac{cosx}{sinx} }{ \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}+1 }}\)

to jest dobrze, a dalej nie wiem, nie pamietam jak to mozna skrocic jakos zeby wyszedl ten \(\displaystyle{ ctgx}\)

[Ateos]

latiwe bedzie zostac przy tg i ctg. wystarczy nam wzor: \(\displaystyle{ tg x= \frac{1}{ctg x}}\)
po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ L= \frac{ \frac{1}{ctg x} (1+ctg^2 x)}{1+ \frac{1}{ctg^2 x}}}\)
po wymnozeniu nawiasu z licznika i sprowadzeniu, ,tych 2 liczb do 1, oraz z mianownikiem to samo otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{ctg^2 x+1}{ctg x}}{ \frac{ctg^2 x+1}{ctg^2 x}}}\)
zmieniamy dzielenia na mnozenie odwrotnosci i juz dochodzimy do =P

[ogre]

A ja prosze o rozwizanie tym co juz zaczalem, juz za duzo mam w zeszycie poskreslane...

[Brzytwa]

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{sinx}{cosx}+ \frac{cosx}{sinx} }{ \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}+1 } = \frac{ \frac{sinx}{cosx}+ \frac{cosx}{sinx} }{ \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x} } = \frac{ \frac{sinx}{cosx}+ \frac{cosx}{sinx} }{\frac{1}{cos^{2}x}} =(\frac{sinx}{cosx}+ \frac{cosx}{sinx} ) cos^{2}x = sinx cosx + \frac{cos^{3}x}{sinx}=cosx \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sinx}=\frac{cosx}{sinx}=ctgx}\)

[ogre]

A mozesz mi jeszcze, Brzytwa, powiedziec skad w mianowniku wziales to pierwsze przeksztalcenie?

[ Dodano: 24 Września 2008, 17:55 ]
I nastepnie, skad wzielo sie to \(\displaystyle{ cosx*\frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sinx}}\) ?

[Brzytwa]

1) \(\displaystyle{ \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x} +1 = \frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}+\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{cos^{2}x} = \frac{1}{cos^{2}x}}\)

2)\(\displaystyle{ sinx cosx + \frac{cos^{3}x}{sinx} = cosx (sinx+\frac{cos^{2}}{sinx}) = cosx (\frac{sin^{2}x}{sinx}+\frac{cos^{2}x}{sinx}) = cosx \frac{sin^{2}x+cos^{2}x}{sinx} = cosx \frac{1}{sinx} =\frac{cosx}{sinx}=ctgx}\)

[bajka71]

Witam,prosiłabym o pomoc z przykładem gdyż nie rozumiem tych tożsamości:

a) \(\displaystyle{ \tg 2x - \sin 2x = \tg 2x \sin 2x}\)

Zapis z użyciem LaTeX-a https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951
luka52

[Mersenne]

\(\displaystyle{ \tg 2x-\sin 2x=\tg 2x\cdot \sin 2x}\)

zał.: \(\displaystyle{ 2x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \iff x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, k\in C}\)

\(\displaystyle{ L=\tg 2x-\sin 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\sin 2x=\frac{\sin 2x-\sin 2x\cos 2x}{\cos 2x}=\frac{\sin 2x(1-\cos 2x)}{\cos 2x}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{\sin 2x}{\cos 2x} (1-\cos 2x)=\tg 2x (1-\cos 2x)=\tg 2x\cdot (1-1+2\sin^{2} x)=}\)

\(\displaystyle{ =\tg 2x\cdot 2\sin^{2} x=2\tg 2x\cdot \sin^{2} x\neq \tg 2x\cdot \sin 2x}\)

Zatem podana równość nie jest tożsamością trygonometryczną.

[bajka71]

Prosiłabym jeszcze o pomoc :

\(\displaystyle{ \frac{tgx}{1-tg2x} \frac{ctg2x - 1}{ctgx} = 1}\)