Trójkąt prostokątny, twierdzenie sinusów/cosinusów

[Abu Simbel]

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{sin\beta+\sin\gamma}{cos\beta+\cos\gamma}}\)
to ten trójkąt jest prostokątny

Z góry dziękuję

[Qń]

Intuicja mówi mi, że da się prościej, ale lepiej tak niż w ogóle. Mamy:
\(\displaystyle{ L= \sin = \sin (180^o - \beta - \gamma ) = \sin (\beta + \gamma ) = 2 \sin \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta + \gamma}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\cos \beta + \cos \gamma } = \frac{2 \sin \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right) \cos \left(\frac{\beta - \gamma}{2}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\beta + \gamma}{2}\right)}}\)

Oznaczając więc \(\displaystyle{ \frac{\beta + \gamma}{2} =\delta}\) mamy równość:
\(\displaystyle{ 2 \sin \delta \cos \delta = \frac{\sin \delta}{\cos \delta}}\)
co z uwagi na to, że \(\displaystyle{ \sin \delta 0}\) jest równoważne kolejno
\(\displaystyle{ 2 \cos \delta = \frac{1}{\cos \delta} \\
2\cos^2\delta - 1 = 0 \\
\cos 2\delta = 0 \\
2\delta = 90^o \\
\beta + \gamma = 90^o \\
= 90^o}\)
czyli koniec.

Q.

[JankoS]

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{sin\beta+\sin\gamma}{cos\beta+\cos\gamma}}\)
to ten trójkąt jest prostokątny

Z góry dziękuję

Będę oznaczał kąty x,y,z i nie będę pisał symbolu stopni.
Wydaje mi się, że ten trójkąt nie jest prostokątny. Sprawdzam kolejno dla x = 90, y = 90 i z = 90.
Jeżeli x = 90 , to y+z = 90 i ze wzorów na sumę sinuów, sumę cosinusów i wzorów redukcyjnych mam
\(\displaystyle{ 1=\frac{2sin\frac{y+z}{2}cos\frac{y-z}{2}}{-2sin\frac{y+z}{2}sin\frac{y-z}{2}}=\frac{cos\frac{z-y}{2}}{sin\frac{z-y}{2}}=tg\frac{z-y}{2}=tg45 \Rightarrow z-y=90 \Rightarrow z+y>90 \Rightarrow x+y+z>180}\)
Stąd x nie może mieć 90 stopni.

Jeżeli y = 90, to x+z=90 i
\(\displaystyle{ sinx=\frac{1+sinz}{0+cosz} sinxcosz=1+sinz \frac{1}2}(sin(x+y)-sin(x-z)=1+cosz sin90-cos(x-z)=2+2sinz 2sinz+cos(x-z)+1=2sinz+cos(2x-90)+1=2sinx+sin(90-2x+90)+1=2sinx+sin(180-2x)+1=2sinx+sin2x+1=0}\)
To ostatnie jest niemożliwe dla kata ostrego.
Tak samo przypuszczając, że z = 90 doprowadzamy do sprezeczności.