Tożsamości trygonometryczne - 4 przykłady

[Quaerens]

Podaj odpowiednie założenia i wykaż że rownanie jest tożsamością:



1)

\(\displaystyle{ \frac{sin }{1 + cos }}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ \frac{1 + cos }{sin } =}\) \(\displaystyle{ \frac{2}{sin }}\)

2)


\(\displaystyle{ \frac{sin - sin^3 }{cos - cos^3 } = ctg\alpha}\)

3)


\(\displaystyle{ \frac{1}{1-cos }}\) \(\displaystyle{ +}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{1+cos }}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \frac{2}{sin^2 }}\)

4)

\(\displaystyle{ \frac{cos + ctg }{cos }}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{sin }}\)

[chris139]

2)
Założenie
\(\displaystyle{ cosx cos^3x\\
=x\\
\frac{sinx-sin^3x}{cos-cos^3x}=\frac{sinx(1-sin^2x)}{cosx(1-cos^2x)}= \frac{sinx cos^2x}{cosx sin^2x}=\frac{cosx}{sinx}=ctgx}\)

[ Dodano: 21 September 2008, 15:46 ]
3)
\(\displaystyle{ cosx 1 cosx -1 sinx 0\\
\\1-cos^2x=sin^2x\\
\frac{1}{1-cosx}+\frac{1}{1+cosx}=\frac{2}{sin^2x} | 1-cos^2x\\
1+cosx+1-cosx=2}\)

[ Dodano: 21 September 2008, 15:51 ]
4)
\(\displaystyle{ cosx 0 sinx 0\\
\frac{cosx+ctgx}{cosx}=1+\frac{1}{sinx}\\
L=1+\frac{\frac{cosx}{sinx}}{cosx}=1+\frac{1}{sinx}=P}\)

[Quaerens]

A co z pierwszym?

[chris139]

1)
\(\displaystyle{ cosx -1 sinx 0\\
\frac{sinx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{2}{sinx} \ | \ (1+cosx)(sinx)\\
sin^2x+(1+cosx)^2=2(1+cosx)\\
sin^2x+cos^2x+2cosx+1=2+2cosx\\
2+2cosx=2+2cosx}\)

[Quaerens]

Nie rozumiem jak kolega zrobił 4 przykład.

[chris139]

Skorzystałem z tego, że
\(\displaystyle{ ctgx=\frac{cosx}{sinx}}\)