Witam,
mam problem z pewnym zadaniem.Prosiłabym o rozwiązanie:)
Oto treść zadania:
Pole trapezu równoramiennego który nie jest równoległobokiem jest równe 55 pierwiastków z 3 cm kwadratowych. Ramie trapezu ma długość 10cm i tworzy z podstawą kąt 30 stopni. Oblicz długość podstaw trapezu.
Trygonometria - Trapez
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Trygonometria - Trapez
Dane:
\(\displaystyle{ P=55\sqrt{3} [cm^{2}]}\)- pole trapezu
\(\displaystyle{ 10 [cm]}\)- dł. ramienia trapezu
\(\displaystyle{ \alpha=30^{\circ}}\)- miara kąta, jaki tworzy ramię trapezu z podstawą
Niech \(\displaystyle{ h}\) oznacza dł. wysokości trapezu.
Z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego mamy:
\(\displaystyle{ \sin 30^{\circ}=\frac{h}{10} \iff \frac{1}{2}=\frac{h}{10} \iff 2h=10 \iff h=5}\)
\(\displaystyle{ h=5 [cm]}\)- dł. wysokości trapezu
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest ramię trapezu, zaś jedną z przyprostokątnych wysokość trapezu, mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}+5^{2}=10^{2} \iff x^{2}+25=100 \iff x^{2}=75 \iff x=5\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x=5\sqrt{3} [cm]}\)
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza dł. krótszej podstawy trapezu. Długość dłuższej podstawy trapezu jest równa \(\displaystyle{ a+2\cdot 5\sqrt{3}=a+10\sqrt{3}}\).
Pole trapezu jest równe: \(\displaystyle{ P=\frac{(a+a+10\sqrt{3})\cdot 5}{2}=\frac{10a+50\sqrt{3}}{2}=5a+25\sqrt{3}}\).
\(\displaystyle{ P=5a+25\sqrt{3} [cm^{2}]}\)
\(\displaystyle{ 5a+25\sqrt{3}=55\sqrt{3} \iff 5a=30\sqrt{3} \iff a=6\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=6\sqrt{3} [cm]}\)- dł. krótszej podstawy trapezu
\(\displaystyle{ a+10\sqrt{3}=6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=16\sqrt{3} [cm]}\)- dł. dłuższej podstawy trapezu
\(\displaystyle{ P=55\sqrt{3} [cm^{2}]}\)- pole trapezu
\(\displaystyle{ 10 [cm]}\)- dł. ramienia trapezu
\(\displaystyle{ \alpha=30^{\circ}}\)- miara kąta, jaki tworzy ramię trapezu z podstawą
Niech \(\displaystyle{ h}\) oznacza dł. wysokości trapezu.
Z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego mamy:
\(\displaystyle{ \sin 30^{\circ}=\frac{h}{10} \iff \frac{1}{2}=\frac{h}{10} \iff 2h=10 \iff h=5}\)
\(\displaystyle{ h=5 [cm]}\)- dł. wysokości trapezu
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest ramię trapezu, zaś jedną z przyprostokątnych wysokość trapezu, mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}+5^{2}=10^{2} \iff x^{2}+25=100 \iff x^{2}=75 \iff x=5\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ x=5\sqrt{3} [cm]}\)
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza dł. krótszej podstawy trapezu. Długość dłuższej podstawy trapezu jest równa \(\displaystyle{ a+2\cdot 5\sqrt{3}=a+10\sqrt{3}}\).
Pole trapezu jest równe: \(\displaystyle{ P=\frac{(a+a+10\sqrt{3})\cdot 5}{2}=\frac{10a+50\sqrt{3}}{2}=5a+25\sqrt{3}}\).
\(\displaystyle{ P=5a+25\sqrt{3} [cm^{2}]}\)
\(\displaystyle{ 5a+25\sqrt{3}=55\sqrt{3} \iff 5a=30\sqrt{3} \iff a=6\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=6\sqrt{3} [cm]}\)- dł. krótszej podstawy trapezu
\(\displaystyle{ a+10\sqrt{3}=6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=16\sqrt{3} [cm]}\)- dł. dłuższej podstawy trapezu